Η διαδικασία Poisson είναι μια χρονολογική σειρά που δημιουργήθηκε από πειράματα των οποίων η συχνότητα μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά με μια κατανομή Bernoulli και εξαρτάται από μια σταθερή παράμετρο που ονομάζεται ένταση.
Με άλλα λόγια, η διαδικασία Poisson είναι μια ακολουθία πειραμάτων που ακολουθούν μια κατανομή Bernoulli και εξαρτάται από μια παράμετρο που δείχνει την ένταση της διαδικασίας.
Η χρονοσειρά εμπλέκεται επειδή η διανομή Poisson προορίζεται να μοντελοποιήσει τη συχνότητα των συμβάντων κατά τη διάρκεια ενός καθορισμένου χρονικού διαστήματος.
Δεδομένου ότι η βάση είναι μια διανομή Bernoulli, γίνεται διάκριση μεταξύ επιτυχία Γ καμία επιτυχία. Εδώ ορίζεται επιτυχία όταν συμβαίνει το συμβάν που θέλουμε να ελέγξουμε και καμία επιτυχία όταν δεν συμβαίνει.
Παράμετρος
Το ελληνικό γράμμα «λάμδα» χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της έντασης ή του ρυθμού άφιξης της διαδικασίας Poisson.
Αυτή η παράμετρος είναι σταθερή και αυστηρά θετική, δηλαδή πάντα μεγαλύτερη από το μηδέν.
Τύπος
Δεδομένου χρονικού διαστήματος μήκους, τ, και το ποσοστό άφιξης των εκδηλώσεων, λάμδα, ο αναμενόμενος αριθμός συμβάντων κατά τη διάρκεια αυτού του χρονικού διαστήματος είναι
Υποθέσεις
Για να είναι εφικτή η διαδικασία Poisson, πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες υποθέσεις:
- Η πιθανότητα επιτυχίας σε μια πολύ μικρή χρονική περίοδο είναι η παράμετρος λάμδα πολλαπλασιαζόμενη επί αυτήν την χρονική περίοδο.
- Η πιθανότητα εμφάνισης περισσότερων από ενός γεγονότων επιτυχίας στο καθορισμένο χρονικό διάστημα δεν είναι σημαντική.
Με άλλα λόγια, η πιθανότητα περισσότερα από ένα πείραμα να είναι επιτυχημένα σε ένα σταθερό χρονικό διάστημα είναι πολύ μικρή, και επομένως δεν είναι σημαντική ή όχι σημαντική.
- Η πιθανότητα ενός συμβάντος επιτυχίας να συμβεί κατά τη διάρκεια ενός καθορισμένου χρονικού διαστήματος δεν εξαρτάται από αυτό που έχει συμβεί προηγουμένως
Δηλαδή, κάθε επιτυχές πείραμα είναι ανεξάρτητο από το προηγούμενο πείραμα. Για παράδειγμα, σε περίπτωση ανατροπής ενός νομίσματος για 1 λεπτό, η πιθανότητα να εμφανιστεί το κεφάλι δεν εξαρτάται από το τι ρίχτηκε στο προηγούμενο flip.
Εφαρμογή
Η διαδικασία Poisson είναι γνωστή στα στατιστικά ως στοχαστική διαδικασία που προσπαθεί να καταγράφει πολύ απίθανα γεγονότα σε συνεχή χρόνο.
Για παράδειγμα, στον τομέα της ασφάλισης, η διαδικασία Poisson μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της πιθανότητας καταστροφής μιας ασφαλιστικής εταιρείας.
Παράδειγμα διεργασίας Poisson
Υποθέτουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε τον συνολικό αριθμό ιστιοπλοϊκών που πηγαίνουν για ψάρεμα σε μισή ώρα. Γνωρίζουμε ότι, κατά μέσο όρο, 4 ιστιοφόρα αναχωρούν κάθε 5 λεπτά.
Έτσι, μπορούμε να ταιριάξουμε τα εξής:
Ο αναμενόμενος αριθμός ιστιοπλοϊκών που θα πάνε για ψάρεμα σε μισή ώρα θα είναι:
24 ιστιοφόρα θα κάνουν ψάρεμα συνολικά για μισή ώρα λαμβάνοντας υπόψη ότι 4 ιστιοφόρα αναμένεται να βγαίνουν κάθε 5 λεπτά.