Η κανονική κατανομή είναι ένα θεωρητικό μοντέλο ικανό να προσεγγίσει ικανοποιητικά την τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής σε μια ιδανική κατάσταση.
Με άλλα λόγια, η κανονική κατανομή προσαρμόζει μια τυχαία μεταβλητή σε μια συνάρτηση που εξαρτάται από τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Δηλαδή, η συνάρτηση και η τυχαία μεταβλητή θα έχουν την ίδια αναπαράσταση αλλά με μικρές διαφορές.
Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό. Για παράδειγμα, οι αποδόσεις αποθεμάτων, τα αποτελέσματα των δοκιμών, το IQ και τα τυπικά σφάλματα είναι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.
Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή λαμβάνει φυσικές τιμές. Για παράδειγμα, ο αριθμός των φοιτητών σε ένα πανεπιστήμιο.
Η κανονική κατανομή είναι η βάση για άλλες διανομές όπως η κατανομή t του Student, η κατανομή chi-square, η διανομή F του Fisher και άλλες διανομές.
Τύπος της κανονικής κατανομής
Λαμβάνοντας υπόψη μια τυχαία μεταβλητή X, λέμε ότι η συχνότητα των παρατηρήσεών της μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά με μια κανονική κατανομή έτσι ώστε:
Όπου οι παράμετροι της κατανομής είναι η μέση ή κεντρική τιμή και η τυπική απόκλιση:
Με άλλα λόγια, λέμε ότι η συχνότητα μιας τυχαίας μεταβλητής X μπορεί να αντιπροσωπεύεται από μια κανονική κατανομή.
Αναπαράσταση
Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί μια κανονική κατανομή.
Ιδιότητες
- Είναι μια συμμετρική κατανομή. Η τιμή του μέσου, μέσου και τρόπου συμπίπτει. Μαθηματικά,
Μέση = Διάμεσος = Λειτουργία
- Μονοτροπική κατανομή. Οι τιμές που είναι πιο συχνές ή είναι πιο πιθανό να εμφανίζονται είναι γύρω από το μέσο όρο. Με άλλα λόγια, όταν απομακρυνόμαστε από το μέσο όρο, η πιθανότητα εμφάνισης των τιμών και η συχνότητά τους μειώνεται.
Τι χρειαζόμαστε για να αντιπροσωπεύσουμε μια κανονική διανομή;
- Μια τυχαία μεταβλητή.
- Υπολογίστε το μέσο όρο.
- Υπολογίστε την τυπική απόκλιση.
- Αποφασίστε τη συνάρτηση που θέλουμε να αντιπροσωπεύσουμε: συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ή συνάρτηση κατανομής.
Θεωρητικό παράδειγμα
Υποθέτουμε ότι θέλουμε να μάθουμε αν τα αποτελέσματα μιας δοκιμής μπορούν να προσεγγίσουν ικανοποιητικά μια κανονική κατανομή.
Γνωρίζουμε ότι 476 μαθητές συμμετέχουν σε αυτό το τεστ και ότι τα αποτελέσματα μπορεί να κυμαίνονται από 0 έως 10. Υπολογίζουμε τη μέση και τυπική απόκλιση από τις παρατηρήσεις (αποτελέσματα δοκιμών)
Έτσι, ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή X ως τις βαθμολογίες δοκιμής που εξαρτώνται από κάθε μεμονωμένο αποτέλεσμα. Μαθηματικά,
Η βαθμολογία κάθε μαθητή καταγράφεται σε έναν πίνακα. Με αυτόν τον τρόπο, θα αποκτήσουμε ένα παγκόσμιο όραμα για τα αποτελέσματα και τη συχνότητά τους.
| Αποτελέσματα | Συχνότητα |
| 0 | 20 |
| 1 | 31 |
| 2 | 44 |
| 3 | 56 |
| 4 | 64 |
| 5 | 66 |
| 6 | 62 |
| 7 | 51 |
| 8 | 39 |
| 9 | 26 |
| 10 | 16 |
| ΣΥΝΟΛΟ | 476 |
Μόλις φτιαχτεί ο πίνακας, αντιπροσωπεύουμε τα αποτελέσματα της εξέτασης και τις συχνότητες. Εάν το γράφημα μοιάζει με την προηγούμενη εικόνα και πληροί τις ιδιότητες, τότε η μεταβλητή των αποτελεσμάτων δοκιμής μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά με μια κανονική κατανομή μέσου όρου 4,8 και τυπική απόκλιση 3,09.
Μπορούν τα αποτελέσματα των δοκιμών να προσεγγίσουν μια κανονική κατανομή;
Λόγοι για να θεωρηθεί ότι η μεταβλητή αποτελεσμάτων δοκιμής ακολουθεί μια κανονική κατανομή:
- Συμμετρική κατανομή. Δηλαδή, υπάρχει ο ίδιος αριθμός παρατηρήσεων τόσο στα δεξιά όσο και στα αριστερά της κεντρικής τιμής. Επίσης, ότι ο μέσος όρος, ο διάμεσος και ο τρόπος λειτουργίας έχουν την ίδια τιμή.
Μέσος όρος = Διάμεσος = Λειτουργία = 5
- Οι παρατηρήσεις με τη μεγαλύτερη συχνότητα ή πιθανότητα είναι γύρω από την κεντρική τιμή. Με άλλα λόγια, οι παρατηρήσεις με λιγότερη συχνότητα ή πιθανότητα απέχουν πολύ από την κεντρική τιμή.
Η κανονική κατανομή περιγράφει την τυχαία μεταβλητή με μια προσέγγιση που παράγει τυπικά σφάλματα (οι μπάρες πάνω από κάθε στήλη). Αυτά τα σφάλματα είναι η διαφορά μεταξύ των πραγματικών παρατηρήσεων (αποτελέσματα) και της συνάρτησης πυκνότητας (κανονική κατανομή).
