Ο νόμος των μεγάλων αριθμών είναι ένα θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας πιθανοτήτων που υποδηλώνει ότι εάν επαναλάβουμε πολλές φορές (τείνοντας στο άπειρο) το ίδιο πείραμα, η συχνότητα ενός συγκεκριμένου συμβάντος συμβαίνει τείνει να είναι σταθερή.
Δηλαδή, ο νόμος των μεγάλων αριθμών υποδεικνύει ότι εάν η ίδια δοκιμή πραγματοποιείται επανειλημμένα (για παράδειγμα, πετώντας ένα νόμισμα, ρίχνοντας έναν τροχό ρουλέτας κ.λπ.), τη συχνότητα με την οποία θα επαναληφθεί ένα συγκεκριμένο συμβάν (που έρχεται πάνω κεφάλια ή σφραγίδα, ο αριθμός 3 βγαίνει μαύρο, κ.λπ.) θα πλησιάσει μια σταθερά. Αυτό με τη σειρά του θα είναι η πιθανότητα να συμβεί αυτό το συμβάν.
Προέλευση του νόμου των μεγάλων αριθμών
Ο νόμος των μεγάλων αριθμών αναφέρθηκε για πρώτη φορά από τον μαθηματικό Gerolamo Cardamo, αν και χωρίς καμία αυστηρή απόδειξη. Αργότερα, ο Jacob Bernoulli κατάφερε να κάνει μια πλήρη επίδειξη στο έργο του "Ars Conjectandi" το 1713. Τη δεκαετία του 1830 ο μαθηματικός Siméon Denis Poisson περιέγραψε λεπτομερώς τον νόμο των μεγάλων αριθμών, ο οποίος ήρθε να τελειοποιήσει τη θεωρία. Άλλοι συγγραφείς θα έκαναν επίσης μεταγενέστερες συνεισφορές.
Παράδειγμα του νόμου των μεγάλων αριθμών
Ας υποθέσουμε ότι το ακόλουθο πείραμα: κυλήστε μια κοινή μήτρα. Τώρα ας εξετάσουμε το γεγονός που παίρνουμε τον αριθμό 1. Όπως γνωρίζουμε, η πιθανότητα να εμφανιστεί ο αριθμός 1 είναι το 1/6 (η μήτρα έχει 6 πρόσωπα, ένα από αυτά είναι ένα).
Τι μας λέει ο νόμος των μεγάλων αριθμών; Μας λέει ότι καθώς αυξάνουμε τον αριθμό των επαναλήψεων του πειράματός μας (κάνουμε περισσότερες ρίψεις της μήτρας), η συχνότητα με την οποία θα επαναληφθεί το συμβάν (παίρνουμε 1) θα πλησιάσει μια σταθερά, η οποία θα έχει ίση τιμή για την πιθανότητά του (1/6 ή 16,66%).
Ενδεχομένως, στις πρώτες 10 ή 20 εκτοξεύσεις, η συχνότητα με την οποία λαμβάνουμε 1 δεν θα είναι 16%, αλλά ένα άλλο ποσοστό όπως το 5% ή το 30%. Αλλά καθώς κάνουμε όλο και περισσότερα βήματα (ας πούμε 10.000), η συχνότητα που εμφανίζεται το 1 θα είναι πολύ κοντά στο 16,66%.
Στο παρακάτω γράφημα βλέπουμε ένα παράδειγμα ενός πραγματικού πειράματος όπου ένα καλούπι τυλίγεται επανειλημμένα. Εδώ μπορούμε να δούμε πώς αλλάζει η σχετική συχνότητα σχεδίασης ενός συγκεκριμένου αριθμού.
Όπως υποδεικνύεται από το νόμο των μεγάλων αριθμών, στην πρώτη εκκίνηση η συχνότητα είναι ασταθής, αλλά καθώς αυξάνουμε τον αριθμό των εκκινήσεων, η συχνότητα τείνει να σταθεροποιηθεί σε έναν συγκεκριμένο αριθμό, η οποία είναι η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν (στην περίπτωση αυτή αριθμοί από 1 έως 6 αφού είναι η ρίψη ζαριών).
Εσφαλμένη ερμηνεία του νόμου των μεγάλων αριθμών
Πολλοί άνθρωποι παρερμηνεύουν το νόμο των μεγάλων αριθμών πιστεύοντας ότι ένα γεγονός θα τείνει να ξεπερνά το άλλο. Έτσι, για παράδειγμα, πιστεύουν ότι δεδομένου ότι η πιθανότητα ο αριθμός 1 να κυλά σε μια μήτρα θα πρέπει να είναι κοντά στο 1/6, όταν ο αριθμός 1 δεν εμφανίζεται στα πρώτα 2 ή 5 ρολά, είναι πολύ πιθανό ότι στο Επόμενο. Αυτό δεν είναι αλήθεια, δεδομένου ότι ο νόμος των μεγάλων αριθμών ισχύει μόνο για πολλές επαναλήψεις, έτσι μπορούμε να περάσουμε όλη την ημέρα κυλώντας μια μήτρα και να μην φτάσουμε στη συχνότητα 1/6.
Το ρολό μιας μήτρας είναι ένα ανεξάρτητο γεγονός και, επομένως, όταν εμφανίζεται ένας συγκεκριμένος αριθμός, αυτό το αποτέλεσμα δεν επηρεάζει το επόμενο ρολό. Μόνο μετά από χιλιάδες επαναλήψεις θα μπορέσουμε να επαληθεύσουμε ότι υπάρχει ο νόμος των μεγάλων αριθμών και ότι η σχετική συχνότητα λήψης ενός αριθμού (στο παράδειγμά μας 1) θα είναι 1/6.
Η εσφαλμένη ερμηνεία της θεωρίας μπορεί να οδηγήσει τους ανθρώπους (ειδικά τους παίκτες) να χάσουν χρήματα και χρόνο.
Θεώρημα BayesΠιθανότητα συχνότηταςΚεντρικό θεώρημα ορίου
