Η πολυγραμμικότητα είναι η ισχυρή σχέση γραμμικής εξάρτησης μεταξύ περισσότερων από δύο επεξηγηματικών μεταβλητών σε μια πολλαπλή παλινδρόμηση που παραβιάζει την υπόθεση Gauss-Markov όταν είναι ακριβής.
Με άλλα λόγια, η πολυγραμμικότητα είναι ο υψηλός συσχετισμός μεταξύ περισσότερων από δύο επεξηγηματικών μεταβλητών.
Τονίζουμε ότι η γραμμική σχέση (συσχέτιση) μεταξύ των επεξηγηματικών μεταβλητών πρέπει να είναι ισχυρή. Είναι πολύ συνηθισμένο να συσχετίζονται οι επεξηγηματικές μεταβλητές της παλινδρόμησης. Έτσι, πρέπει να επισημανθεί ότι αυτή η σχέση πρέπει να είναι ισχυρή, αλλά ποτέ τέλεια, για να θεωρηθεί περίπτωση πολυγραμμικότητας. Η γραμμική σχέση θα ήταν τέλεια αν ο συντελεστής συσχέτισης ήταν 1.
Όταν αυτή η ισχυρή γραμμική (αλλά όχι τέλεια) σχέση συμβαίνει μόνο μεταξύ δύο επεξηγηματικών μεταβλητών, λέμε ότι πρόκειται για περίπτωση αλληλεγγύης. Θα ήταν πολυγραμμικότητα όταν η ισχυρή γραμμική σχέση εμφανίζεται μεταξύ περισσότερων από δύο ανεξάρτητων μεταβλητών.
Η υπόθεση Gauss-Markov σχετικά με την ακριβή μη πολυγραμμικότητα ορίζει ότι οι επεξηγηματικές μεταβλητές σε ένα δείγμα δεν μπορούν να είναι σταθερές. Επιπλέον, δεν πρέπει να υπάρχουν ακριβείς γραμμικές σχέσεις μεταξύ των επεξηγηματικών μεταβλητών (καμία ακριβής πολυγραμμικότητα). Ο Gauss-Markov δεν μας επιτρέπει την ακριβή πολυγραμμικότητα, αλλά προσεγγίζει την πολυγραμμικότητα.
Ανάλυση παλινδρόμησηςΕφαρμογές
Υπάρχουν πολύ συγκεκριμένες περιπτώσεις, συνήθως μη ρεαλιστικές, στις οποίες οι μεταβλητές παλινδρόμησης δεν έχουν καμία σχέση μεταξύ τους. Σε αυτές τις περιπτώσεις μιλάμε για εξωγένεια των επεξηγηματικών μεταβλητών. Οι κοινωνικές επιστήμες είναι γενικά διάσημες για την ενσωμάτωση της κατά προσέγγιση πολυγραμμικότητας στις παλινδρόμηση τους.
Ακριβής πολυγραμμικότητα
Η ακριβής πολυγραμμικότητα εμφανίζεται όταν περισσότερες από δύο ανεξάρτητες μεταβλητές είναι ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων ανεξάρτητων μεταβλητών στην παλινδρόμηση.
Προβλήματα
Όταν ο Gauss Markov απαγορεύει την ακριβή πολυγραμμικότητα είναι επειδή δεν μπορούμε να αποκτήσουμε τον εκτιμητή των Συνήθων Λιγότερων Τετραγώνων (OLS).
Εκφράζοντας μαθηματικά το εκτιμώμενο beta-i σε μορφή μήτρας:
Έτσι, εάν υπάρχει ακριβής πολυγραμμικότητα, προκαλεί το πλέγμα (X'X) να έχει καθοριστικό 0 και, επομένως, να μην είναι αναστρέψιμο. Το να μην είναι αναστρέψιμο σημαίνει ότι δεν μπορείτε να υπολογίσετε (X'X)-1 και κατά συνέπεια ούτε εκτιμώμενο Beta sub-i
Κατά προσέγγιση πολυγραμμικότητα
Η κατά προσέγγιση πολυγραμμικότητα εμφανίζεται όταν περισσότερες από δύο ανεξάρτητες μεταβλητές δεν είναι ακριβώς (προσέγγιση) γραμμικός συνδυασμός άλλων ανεξάρτητων μεταβλητών στην παλινδρόμηση.
Η μεταβλητή k αντιπροσωπεύει μια τυχαία μεταβλητή (ανεξάρτητη και ταυτόσημη κατανεμημένη (i.i.d)). Η συχνότητα των παρατηρήσεών σας μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά με μια τυπική Κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και διακύμανση 1. Δεδομένου ότι είναι μια τυχαία μεταβλητή, υπονοεί ότι σε κάθε παρατήρηση i, η τιμή του k θα είναι διαφορετική και ανεξάρτητη από οποιαδήποτε προηγούμενη τιμή.
Προβλήματα
Μαθηματική έκφραση σε μορφή μήτρας:
Έτσι, εάν υπάρχει κατά προσέγγιση πολυγραμμικότητα, προκαλεί τον πίνακα (X'X) να είναι περίπου 0 και ο συντελεστής προσδιορισμού πολύ κοντά στο 1.
Λύση
Η πολυγραμμικότητα μπορεί να μειωθεί με την εξάλειψη των παλινδρόμων των μεταβλητών με υψηλή γραμμική σχέση μεταξύ τους.
Συντελεστής γραμμικής συσχέτισης