Ένας αντισυμμετρικός πίνακας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας όπου τα στοιχεία έξω από την κύρια διαγώνια είναι συμμετρικά ίσα, αλλά εκείνα κάτω από την κύρια διαγώνια φέρουν αρνητικό σημάδι.
Με άλλα λόγια, μια αντισυμμετρική μήτρα είναι μια μήτρα που έχει τον ίδιο αριθμό σειρών (η) και στηλών (m) και τα στοιχεία και στις δύο πλευρές της κύριας διαγώνιας είναι συμπληρωματικά.
Δεδομένου ότι τα στοιχεία πάνω και κάτω από την κύρια διαγώνια είναι μετατοπισμένα, τα στοιχεία στην κύρια διαγώνια είναι μηδενικά.
Συνιστώμενο άρθρο: μη συμμετρική μήτρα και συμμετρική μήτρα.
Χαρακτηριστικά της αντισυμμετρικής μήτρας
Τα χαρακτηριστικά μιας αντισυμμετρικής μήτρας είναι:
- Τετραγωνική μήτρα.
- Συμμετρική μήτρα + αρνητικό σύμβολο (-) στα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνια.
- Τα στοιχεία της κύριας διαγώνιας είναι μηδενικά (0).
Αντισυμμετρική μήτρα
Δεδομένου τετραγωνικού πίνακα ΑΣΣΟΣ,
Μπορούμε να δούμε πώς εμφανίζονται τα ίδια στοιχεία και στις δύο πλευρές της κύριας διαγώνιας, αλλά με την ιδιαιτερότητα ότι τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνια έχουν αρνητικό σημάδι μπροστά. Επίσης, η κύρια διαγώνια αποτελείται από μηδενικά.
Η αντισυμμετρική μήτρα και καθρέφτες
Με τον ίδιο τρόπο όπως και η συμμετρική μήτρα, η αντισυμμετρική μήτρα μπορεί επίσης να γίνει κατανοητή μέσω του παραδείγματος του καθρέφτη.
Αν κοιτάξουμε τον εαυτό μας στον καθρέφτη και σηκώσουμε το δεξί μας χέρι, θα δούμε ότι το άτομο στον καθρέφτη σηκώνει το αριστερό του χέρι. Με άλλα λόγια, η κίνηση του καθρέφτη συμπληρώνει τη δική μας και, επομένως, το άθροισμα και των δύο θα είχε ως αποτέλεσμα μηδέν.
Μπορούμε να εκφράσουμε την παραπάνω ιδέα ως εξής και να συμπεράνουμε:
(Σήκωσε το χέρι σου σωστά) - (Σήκωσε το χέρι σου αριστερά) = 0
(Σήκωσε το χέρι σου σωστά) = (Σήκωσε το χέρι σου αριστερά)
Η κύρια διαγώνια λειτουργεί ως καθρέφτης και βλέπουμε αντίθετα στοιχεία και στις δύο πλευρές της κύριας διαγώνιας. Η ουδέτερη συνάρτηση (=) αντιστοιχεί στην κύρια διαγώνια.
Ιδιοκτησία
- Η μετατεθειμένη μήτρα ενός αντισυμμετρικού πλέγματος είναι ίση με την αντισυμμετρική μήτρα πολλαπλασιασμένη επί (-1).
Με άλλα λόγια, θα ήταν σαν να προσθέτετε ένα αρνητικό πρόσημο μπροστά από τον αντισυμμετρικό πίνακα.
Μαθηματικά,
Μπορούμε να δούμε ότι και με τις δύο διαδικασίες φτάνουμε στο ίδιο αποτέλεσμα: κάνοντας τη μήτρα μεταφερόμενη ή πολλαπλασιάζοντας επί (-1) την αντισυμμετρική μήτρα.
Μη συμμετρική μήτρα έναντι αντισυμμετρικού πίνακα έναντι συμμετρικού πίνακα
Το παράδειγμα του καθρέφτη στην περίπτωση της συμμετρικής μήτρας είναι αρκετό που αντικατοπτρίζει την ίδια κίνηση, δηλαδή, αν σηκώσουμε έναν βραχίονα, μπορούμε να δούμε έναν ανυψωμένο βραχίονα, αλλά δεν είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε τι είναι. Στην περίπτωση του αντισυμμετρικού πλέγματος, πρέπει να ελέγξουμε ποιον βραχίονα βλέπουμε στον καθρέφτη και να προσδιορίσουμε αν είναι αντισυμμετρική μήτρα.
Αν σηκώσουμε ένα χέρι και στον καθρέφτη βλέπουμε ότι …
- Ο ίδιος βραχίονας υψώνεται, από την άποψη του ατόμου στον καθρέφτη, τότε είναι μια συμμετρική μήτρα.
- Ο αντίθετος βραχίονας ανυψώνεται, από την άποψη του ατόμου στον καθρέφτη, τότε είναι μια αντισυμμετρική μήτρα.
- Αν δεν σηκωθεί βραχίονας ή ανυψωθούν περισσότερα από ένα, από την άποψη του ατόμου στον καθρέφτη, τότε είναι μη συμμετρική μήτρα.