Παράγωγο εκθετικής συνάρτησης
Το παράγωγο μιας εκθετικής συνάρτησης είναι ίσο με το παράγωγο του εκθέτη, πολλαπλασιαζόμενο με την αρχική συνάρτηση και με τον φυσικό λογάριθμο της βάσης.
Δηλαδή, σε μαθηματικούς όρους, θα έχουμε τον ακόλουθο τύπο:
Στην παραπάνω συνάρτηση, το z είναι η βάση και το y είναι συνάρτηση του x, του οποίου το παράγωγο μπορεί να υπολογιστεί όπως εξηγείται στο άρθρο μας σχετικά με το παράγωγο μιας συνάρτησης.
Πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα παράγωγο είναι μια μαθηματική συνάρτηση που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τον ρυθμό μεταβολής μιας (εξαρτώμενης) μεταβλητής. Αυτό, όταν μια παραλλαγή καταχωρείται σε μια άλλη μεταβλητή (που θα είναι η ανεξάρτητη) που την επηρεάζει.
Περιπτώσεις της εκθετικής συνάρτησης
Η εκθετική συνάρτηση παρουσιάζει δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις:
- Όταν ο εκθέτης είναι x, το παράγωγο αυτού είναι 1. Επομένως, το παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης είναι ίσο με την ίδια συνάρτηση με τον φυσικό λογάριθμο της βάσης, όπως βλέπουμε παρακάτω:
- Όταν η βάση είναι η σταθερή e, ο φυσικός λογάριθμός της είναι 1. Επομένως, το παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης θα είναι ίσο με το παράγωγο του εκθετικού με την αρχική συνάρτηση
Παραδείγματα παραγώγου μιας εκθετικής συνάρτησης
Ας δούμε μερικά επεξεργασμένα παραδείγματα εκθετικής συνάρτησης:
Τώρα, ένα δεύτερο παράδειγμα λίγο πιο περίπλοκο:
Τώρα, ας δούμε ένα παράδειγμα όπου ο εκθέτης είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση:
