Ορισμός άλγεβρας - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Το σύνολο άλγεβρας είναι ένας τομέας μελέτης, μέσα στα μαθηματικά και τη λογική, που επικεντρώνεται στις λειτουργίες που μπορούν να εκτελεστούν μεταξύ των συνόλων.

Το σύνολο άλγεβρας είναι μέρος αυτού που γνωρίζουμε ως θεωρία συνόλων.

Πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα σύνολο είναι η ομαδοποίηση στοιχείων διαφορετικών ειδών, όπως γράμματα, αριθμοί, σύμβολα, συναρτήσεις, γεωμετρικά σχήματα, μεταξύ άλλων.

Ορίστε τις λειτουργίες

Οι κύριες λειτουργίες με σύνολα είναι οι εξής:

• Ενωση: Η ένωση δύο ή περισσότερων συνόλων περιέχει όλα τα στοιχεία που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από αυτά τα σύνολα. Υποδεικνύεται με το γράμμα U.

Α = (9,34,57,6,9)

Β = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

• Σημείο τομής: Η τομή δύο ή περισσότερων συνόλων περιλαμβάνει τα στοιχεία που μοιράζονται αυτά τα σύνολα. Υποδεικνύεται από το ανεστραμμένο U (∩). Παράδειγμα:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

• Διαφορά: Η διαφορά ενός σετ σε σχέση με το άλλο είναι ίση με τα στοιχεία του πρώτου σετ μείον τα στοιχεία του δεύτερου. Υποδεικνύεται με το σύμβολο ή -. Προβολή με άλλο τρόπο, x ∈ A B εάν x ∈ A, αλλά x ∉ B. Παράδειγμα:

Α = (21,34,56,17,7)

Β = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

• Συμπλήρωμα: Το συμπλήρωμα ενός συνόλου περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία που δεν περιλαμβάνονται σε αυτό το σύνολο (αλλά που ανήκουν σε ένα άλλο καθολικό σύνολο αναφοράς). Υποδεικνύεται από το υπεργράφημα C. Παράδειγμα:

Α = (3,9,12,15,18)

U (Σύμπαν) = Όλα τα πολλαπλάσια των 3 που είναι ολόκληροι φυσικοί αριθμοί κάτω των 30.

ΠΡΟΣ ΤΗΝ^ντο=(6,21,24,27)

• Συμμετρική διαφορά: Η συμμετρική διαφορά δύο συνόλων περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία που είναι το ένα ή το άλλο, αλλά όχι και τα δύο ταυτόχρονα. Δηλαδή, είναι η ένωση των σετ μείον τη διασταύρωση τους. Το σύμβολό του είναι Δ. Παράδειγμα:

Α = (17.81.99.131.65.32)

Β = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

• Καρτεσιανό προϊόν: Πρόκειται για μια λειτουργία που οδηγεί σε ένα νέο σύνολο, το οποίο περιέχει ως στοιχεία τα ταξινομημένα ζεύγη ή τις πλειάδες (σειρά σειρά) των στοιχείων που ανήκουν σε δύο ή περισσότερα σύνολα. Διατάσσονται ζεύγη αν είναι δύο σύνολα και πλειάδες αν έχουμε περισσότερα από δύο σύνολα. Παράδειγμα:

Α = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Νόμοι του συνόλου άλγεβρας

Οι νόμοι του συνόλου άλγεβρας είναι οι εξής:

• Ικανότητα: Η ένωση ή η τομή ενός συνόλου οδηγεί στο ίδιο σύνολο:

XUX = Χ

X∩X = X

• Υπολογιστική: Η σειρά των παραγόντων δεν αλλάζει το αποτέλεσμα κατά την εύρεση της ένωσης ή της τομής των συνόλων:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

• Διανεμητικό: Η ένωση ενός συνόλου Χ, με τη διασταύρωση δύο άλλων συνόλων Υ και Ζ, είναι ίση με τη διασταύρωση της ένωσης των Χ και Υ, με την ένωση των Χ και Ζ. Δηλαδή:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Επιπλέον, το ίδιο ισχύει και αν αντιστρέψουμε τη σειρά των λειτουργιών:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

• Προσεταιριστική: Οι όροι μιας ένωσης ή μιας διασταύρωσης πολλών συνόλων μπορούν να ομαδοποιηθούν αδιακρίτως, λαμβάνοντας πάντα το ίδιο αποτέλεσμα:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

• Νόμος του Μόργκαν: Το συμπλήρωμα της ένωσης των δύο συνόλων είναι ίσο με τη τομή των συμπληρωμάτων τους, και το συμπλήρωμα της τομής των δύο συνόλων είναι ίσο με την ένωση των συμπληρωμάτων τους.

(XUY)^ντο= Χ^ντο∩Y^ντο

(X∩Y)^ντο= Χ^ντοΝαι^ντο

• Νόμος διαφοράς: Η διαφορά ενός σετ σε σχέση με το άλλο είναι ίση με τη διασταύρωση του πρώτου με το συμπλήρωμα του δεύτερου:

(X-Y) = X∩Y^ντο

• Συμπληρωματικοί νόμοι:
  • Η ένωση ενός συνόλου με το συμπλήρωμά του δεν ισούται με το καθολικό σύνολο. XUX^ντο= U
  • Η τομή ενός σετ με το συμπλήρωμά του είναι ίσο με το μηδενικό ή κενό σύνολο. X∩X^ντο=∅
  • Το συμπλήρωμα του συμπληρώματος ενός συνόλου X είναι ίσο με το σύνολο X. (X^ντο)^ντο= Χ
  • Το συμπλήρωμα του καθολικού σετ είναι ίσο με το μηδενικό ή κενό σύνολο. Χ^ντο=∅
  • Το συμπλήρωμα του κενού σετ είναι ίσο με το γενικό σύνολο. ∅^ντο= U

• Νόμοι απορρόφησης:
  • XU (X∩Y) = X
  • X∩ (XUY) = X
  • XU (Χ^ντο∩Y) = XUY
  • X∩ (Χ^ντοUY) = X∩Y