Οι λειτουργικές εξισώσεις είναι αυτές που έχουν μια άλλη λειτουργία ως άγνωστη. Μια συνάρτηση που μπορεί να συνδεθεί με μια αλγεβρική λειτουργία όπως προσθήκη, αφαίρεση, διαίρεση, πολλαπλασιασμός, δύναμη ή ρίζα.
Οι λειτουργικές εξισώσεις μπορούν επίσης να οριστούν ως εκείνες που δεν μπορούν εύκολα να μειωθούν σε μια αλγεβρική συνάρτηση, του τύπου f (x) = 0, για την ανάλυσή τους.
Οι λειτουργικές εξισώσεις χαρακτηρίζονται επειδή δεν υπάρχει κανένας τρόπος για την επίλυσή τους. Επιπλέον, η εν λόγω μεταβλητή μπορεί να έχει διαφορετικές τιμές (θα την δούμε με παραδείγματα).
Παραδείγματα λειτουργικών εξισώσεων
Μερικά παραδείγματα λειτουργικών εξισώσεων είναι:
f (xy) = f (x). f (y)
στ (x2+ και2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
Σε περιπτώσεις όπως οι προηγούμενες, μπορεί να προστεθεί, για παράδειγμα, ότι το x ανήκει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή, x ∈ R (μπορεί να αποκλειστεί το μηδέν).
Παραδείγματα λειτουργικών εξισώσεων
Ας δούμε μερικά παραδείγματα επιλυμένων λειτουργικών εξισώσεων:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Αν αντικαταστήσω το x με 1 / 2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)
Τώρα, ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα με λίγο μεγαλύτερη δυσκολία, αλλά πού θα προχωρήσουμε με παρόμοιο τρόπο:
Χ2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
Σε αυτήν την περίπτωση, λύσαμε πρώτα το f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Τώρα, αντικαθιστώ το x με 5-x στην εξίσωση 1:
(5-χ)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
Θυμόμαστε ότι το f (5-x) βρίσκεται στην εξίσωση 2:
(25-10x + x2). (Χ2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3χ3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10χ3-1) = 3x3-55x2+ 72χ
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10χ3-1)
Η λειτουργική εξίσωση του Cauchy
Η λειτουργική λειτουργία Cauchy είναι μία από τις πιο βασικές του είδους της. Αυτή η εξίσωση έχει την ακόλουθη μορφή:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Υποθέτοντας ότι τα x και y είναι στο σύνολο λογικών αριθμών, η λύση αυτής της εξίσωσης μας λέει ότι f (x) = cx, όπου το c είναι οποιαδήποτε σταθερά, και το ίδιο συμβαίνει με το f (y).