Λειτουργικές εξισώσεις - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Οι λειτουργικές εξισώσεις είναι αυτές που έχουν μια άλλη λειτουργία ως άγνωστη. Μια συνάρτηση που μπορεί να συνδεθεί με μια αλγεβρική λειτουργία όπως προσθήκη, αφαίρεση, διαίρεση, πολλαπλασιασμός, δύναμη ή ρίζα.

Οι λειτουργικές εξισώσεις μπορούν επίσης να οριστούν ως εκείνες που δεν μπορούν εύκολα να μειωθούν σε μια αλγεβρική συνάρτηση, του τύπου f (x) = 0, για την ανάλυσή τους.

Οι λειτουργικές εξισώσεις χαρακτηρίζονται επειδή δεν υπάρχει κανένας τρόπος για την επίλυσή τους. Επιπλέον, η εν λόγω μεταβλητή μπορεί να έχει διαφορετικές τιμές (θα την δούμε με παραδείγματα).

Παραδείγματα λειτουργικών εξισώσεων

Μερικά παραδείγματα λειτουργικών εξισώσεων είναι:

f (xy) = f (x). f (y)

στ (x²+ και²) = f (xy)²/2

f (x) = f (x + 3) / x

Σε περιπτώσεις όπως οι προηγούμενες, μπορεί να προστεθεί, για παράδειγμα, ότι το x ανήκει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή, x ∈ R (μπορεί να αποκλειστεί το μηδέν).

Παραδείγματα λειτουργικών εξισώσεων

Ας δούμε μερικά παραδείγματα επιλυμένων λειτουργικών εξισώσεων:

f (1 / 2x) = x-3f (x)

Αν αντικαταστήσω το x με 1 / 2x:

f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))

f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)

8f (x) = 3x- (1 / 2x)

f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)

Τώρα, ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα με λίγο μεγαλύτερη δυσκολία, αλλά πού θα προχωρήσουμε με παρόμοιο τρόπο:

Χ²f (x) -f (5-x) = 3x… (1)

Σε αυτήν την περίπτωση, λύσαμε πρώτα το f (5-x)

f (5-x) = x²f (x) -3x… (2)

Τώρα, αντικαθιστώ το x με 5-x στην εξίσωση 1:

(5-χ)²f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)

(25-10x + x²) .f (5-x) -f (x) = 15-3x

Θυμόμαστε ότι το f (5-x) βρίσκεται στην εξίσωση 2:

(25-10x + x²). (Χ²f (x) -3x) -f (x) = 15-3x

25x²-75x-10x³f (x) + 30x²+ x⁴f (x) -3χ³-f (x) = 15-3x

f (x) (x⁴-10χ³-1) = 3x³-55x²+ 72χ

f (x) = (3x³-55x²+ 72x) / (x⁴-10χ³-1)

Η λειτουργική εξίσωση του Cauchy

Η λειτουργική λειτουργία Cauchy είναι μία από τις πιο βασικές του είδους της. Αυτή η εξίσωση έχει την ακόλουθη μορφή:

f (x + y) = f (x) + f (y)

Υποθέτοντας ότι τα x και y είναι στο σύνολο λογικών αριθμών, η λύση αυτής της εξίσωσης μας λέει ότι f (x) = cx, όπου το c είναι οποιαδήποτε σταθερά, και το ίδιο συμβαίνει με το f (y).