Η κύρια διαγώνια μιας τετραγωνικής μήτρας είναι μια φανταστική ευθεία γραμμή με αρνητική κλίση που ξεκινά στην επάνω αριστερή γωνία και τελειώνει στην κάτω δεξιά γωνία της μήτρας.
Με άλλα λόγια, η κύρια διαγώνια είναι μια κεκλιμένη ευθεία γραμμή που μπορούμε να σχεδιάσουμε πάνω από τη μήτρα από το πρώτο στοιχείο έως το τελευταίο.
Δεδομένου ότι η κύρια διαγώνια δεν δίνεται από τη μήτρα, λέμε ότι είναι φανταστικό. Έτσι, για να αποκτήσουμε τη διαγώνια γραμμή θα πρέπει να την σχεδιάσουμε σωματικά ή διανοητικά στην κορυφή της μήτρας.
Προτεινόμενα άρθρα: τετράγωνη μήτρα.
Αναπαράσταση της κύριας διαγώνιας
Δεδομένου τετραγωνικού πίνακα Ζόποιος:
Η κύρια διαγώνια της μήτρας Ζ είναι:
Σχεδιάστε την κύρια διαγώνια
Μια απαίτηση για την εύρεση τόσο της κύριας διαγώνιας όσο και της δευτερεύουσας διαγώνιας είναι ότι η μήτρα πρέπει να είναι μια τετραγωνική μήτρα.
Πώς μπορούμε να θυμόμαστε ότι η κύρια διαγώνια ξεκινά στην επάνω αριστερή γωνία και όχι στην κάτω δεξιά γωνία (δευτερεύουσα διαγώνια);
Λοιπόν, για παράδειγμα, μπορούμε να αναζητήσουμε αναφορές στη γεωμετρία.
Αν κοιτάξουμε τη μήτρα Ζ, μπορούμε να δούμε πώς σχηματίζεται ένα σωστό τρίγωνο όπου η υποτείνουσα (διαγώνια) είναι η κύρια διαγώνια της μήτρας. Γραφικά:
Από το αναλυτικό μέρος, μπορούμε επίσης να θυμόμαστε ότι η κύρια διαγώνια είναι μια ευθεία γραμμή που έχει αρνητική κλίση. Έτσι, για να έχει μια αρνητική κλίση, η διαγώνια πρέπει να ξεκινάει επάνω αριστερά και να τελειώνει κάτω δεξιά. Γραφικά:
Μόλις σχεδιάσει η κύρια διαγώνια, θα δούμε ότι έχουμε δύο συμμετρικά τρίγωνα πάνω και κάτω από τη διαγώνια. Αυτό το αποτέλεσμα είναι ένα σημάδι ότι έχουμε κάνει καλά. Γραφικά:
Εφαρμογές
Η κύρια διαγώνια χρησιμοποιείται για τη λήψη του καθοριστικού παράγοντα της μήτρας, της αποσύνθεσης LU, της αποσύνθεσης Cholesky, του κανόνα Sarrus και άλλων μεθόδων.
Θεωρητικό παράδειγμα
Βρείτε την κύρια διαγώνια των ακόλουθων πινάκων:
Γραφική λύση:
Αναλυτική λύση:
- Κύρια διαγώνια μήτρα ΠΡΟΣ ΤΗΝ: (2;28;1).
- Κύρια διαγώνια μήτρα σι: (9;5).
- Κύρια διαγώνια μήτρα ντο: δεν είναι τετραγωνικός πίνακας και επομένως δεν μπορούμε να βρούμε την κύρια διαγώνια.