Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια άπειρη ακολουθία αριθμών στην οποία ο λόγος είναι σταθερός σε όλη την ακολουθία και μπορεί να αναπαρασταθεί από μια εκθετική συνάρτηση.
Με άλλα λόγια, μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία και, ως εκ τούτου, άπειρη, στην οποία η παραλλαγή μεταξύ οποιωνδήποτε δύο διαδοχικών αριθμών θα είναι πάντα η ίδια σε όλη τη σειρά και η οποία, όταν παριστάνεται, συμπίπτει με μια συνθετική συνάρτηση.
Τύπος γεωμετρικής εξέλιξης
Μια γεωμετρική εξέλιξη του σχήματος X1, Χ2, …, Χν ,
Χ1 = Χ1
Χ2 = Χ1 · Λόγος
Χ3 = Χ2 · Λόγος
…
Χν-1 = Χν-2 · Λόγος
Χν = Χν-1 · Λόγος
Έτσι, για να υπολογίσουμε την αναλογία μιας γεωμετρικής προόδου, θα πρέπει απλώς να εφαρμόσουμε τον ακόλουθο τύπο:
Ο λόγος θα είναι πάντα ο ίδιος για ολόκληρη την εξέλιξη. Με άλλα λόγια, αν υπολογίσουμε την αναλογία ενός ζεύγους αριθμών και την αναλογία ενός διαφορετικού ζεύγους αριθμών και, οδηγεί σε διαφορετική αναλογία, τότε σημαίνει ότι κάποια στιγμή έχουμε κάνει λάθος.
Το επιλεγμένο ζεύγος αριθμών πρέπει πάντα να είναι διαδοχικό, δεδομένου ότι ο επόμενος αριθμός εξαρτάται από τον προηγούμενο αριθμό πολλαπλασιασμένος με τον λόγο.
Παράδειγμα
Με δεδομένη μια γεωμετρική πρόοδο του σχήματος X1, Χ2, …, Χ40 :
Η συνδρομή του Χ υποδηλώνει τη θέση του αριθμού εντός της ακολουθίας. Υπάρχουν λοιπόν 40 στοιχεία σε αυτήν την εξέλιξη.
Η γεωμετρική εξέλιξη μπορεί να φαίνεται πιο δύσκολη από την αριθμητική εξέλιξη, αλλά είναι ουσιαστικά η ίδια έννοια. Επομένως, επειδή δεν βλέπουμε τον λόγο με την πρώτη ματιά, θα καταφύγουμε σε υπολογισμούς:
Χ2 / Χ1 = 1,5 / 1 = αναλογία 1,5 ←
Χ3 / Χ2 = 2,25 / 1,5 = 1,5 ← αναλογία
Χ4 / Χ3 = 3.38 / 2.25 = 1.5 ← αναλογία
…
Χ39 / Χ38 = 4.914.369.92 / 3.276.246.61 = 1.5 1.5 αναλογία
Χ40 / Χ39 = 7,371,554,88 / 4,914,369,92 = 1,5 ← αναλογία.
Αν και οι αριθμοί αυξάνονται, ο λόγος θα είναι πάντα ο ίδιος. Είναι σημαντικό να επισημάνουμε ότι μόλις πολλαπλασιάσουμε με 1,5 σαράντα φορές, θα έχουμε 7,371,554,88.
Αναπαράσταση
Εάν συγκεντρώσουμε όλους τους αριθμούς από την προηγούμενη εξέλιξη σε ένα γράφημα και ενώσουμε όλα τα σημεία, θα δούμε ότι η συνάρτηση μοιάζει πολύ με την εκθετική συνάρτηση.
Έτσι, αυτή η εξέλιξη αυξάνεται μονότονα επειδή ο λόγος είναι μεγαλύτερος από 0.
Συγκρίνοντας την αριθμητική πρόοδο με τη γεωμετρική πρόοδο, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι για να αποκτήσουμε υψηλότερους αριθμούς σε λίγα στοιχεία εντός της εξέλιξης, είναι καλύτερο να πολλαπλασιάσουμε τους λόγους (γεωμετρική εξέλιξη) παρά να προσθέσουμε αναλογίες (αριθμητική εξέλιξη).
