Το Θεώρημα Gauss-Markov είναι ένα σύνολο παραδοχών που πρέπει να πληροί ένας εκτιμητής OLS (Συνήθης Τετράγωνα) προκειμένου να θεωρηθεί ELIO (Βέλτιστος Γραμμικός Αμερόληπτος Εκτιμητής). ΚΑΙΤο θεώρημα Gauss-Markov διατυπώθηκε από τους Carl Friederich Gauss και Andrei Markov.
Ο Carl Friederich Gauss και ο Andréi Márkov καθόρισαν κάποιες υποθέσεις, έτσι ώστε ένας εκτιμητής OLS να μπορούσε να γίνει ELIO.
Εάν πληρούνται αυτές οι 5 υποθέσεις, μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι ο εκτιμητής είναι αυτός με την ελάχιστη διακύμανση (πιο ακριβής) όλων των γραμμικών και αμερόληπτων εκτιμητών. Σε περίπτωση που οποιαδήποτε από τις παραδοχές των πρώτων τριών αποτύχει (Γραμμικότητα, μηδενική μέση-αυστηρή εξωγένεια ή Χωρίς τέλεια πολυγραμμικότητα), ο εκτιμητής OLS δεν είναι πλέον αμερόληπτος. Εάν αποτύχουν μόνο 4 ή 5 (Ομοσκεδαστικότητα και Χωρίς αυτοσυσχέτιση), ο εκτιμητής είναι ακόμα γραμμικός και αμερόληπτος, αλλά δεν είναι πλέον ο πιο ακριβής. Συνοψίζοντας, το Θεώρημα Gauss-Markov δηλώνει ότι:
- Σύμφωνα με τις παραδοχές 1, 2 και 3, ο εκτιμητής OLS είναι γραμμικός και αμερόληπτος. Τώρα, εφόσον δεν πληρούνται οι τρεις πρώτες υποθέσεις, μπορεί να διασφαλιστεί ότι ο εκτιμητής είναι αμερόληπτος. Προκειμένου ο εκτιμητής να είναι συνεπής, πρέπει να έχουμε ένα μεγάλο δείγμα, τόσο περισσότερο το καλύτερο.
- Σύμφωνα με τις παραδοχές 1, 2, 3, 4 και 5, ο εκτιμητής OLS είναι γραμμικός, αμερόληπτος και βέλτιστος (ELIO).
Παραδοχές του θεωρήματος Gauss-Markov
Συγκεκριμένα, υπάρχουν 5 παραδοχές:
1. Γραμμικό μοντέλο στις παραμέτρους
Είναι μια αρκετά ευέλικτη υπόθεση. Επιτρέπει τη χρήση συναρτήσεων των μεταβλητών ενδιαφέροντος.
2. Μηδενική μέτρια και αυστηρή εξωγένεια
Αυτό σημαίνει ότι η μέση τιμή του σφάλματος που εξαρτάται από τις εξηγήσεις είναι ίση με την αναμενόμενη τιμή χωρίς όρους και είναι μηδέν. Επιπλέον, η αυστηρή εξωγένεια απαιτεί τα σφάλματα μοντέλου να μην συσχετίζονται με παρατηρήσεις.
Μηδενικό μέσο:
Αυστηρή εξωγένεια:
Η μηδενική μέση και αυστηρή εξωγένεια αποτυγχάνουν εάν:
- Το μοντέλο δεν είναι καλά καθορισμένο (παράλειψη σχετικών μεταβλητών, για παράδειγμα).
- Υπάρχουν σφάλματα μέτρησης στις μεταβλητές (τα δεδομένα δεν έχουν ελεγχθεί).
- Σε χρονοσειρές, η αυστηρή εξωγένεια αποτυγχάνει σε μοντέλα καθυστερημένης ενδογένειας (αν και μπορεί να υπάρχει σύγχρονη εξωγένεια) και σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν εφέ ανάδρασης.
Σε δεδομένα διατομής είναι πολύ πιο εύκολο να επιτευχθεί η υπόθεση εξωγένειας από ό, τι στην περίπτωση χρονοσειρών.
3. Δεν υπάρχει ακριβής πολυγραμμικότητα
Στο δείγμα, καμία από τις επεξηγηματικές μεταβλητές δεν είναι σταθερή. Δεν υπάρχουν ακριβείς γραμμικές σχέσεις μεταξύ των επεξηγηματικών μεταβλητών. Δεν αποκλείει κάποια (όχι τέλεια) συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών. Σύμφωνα με τον Gauss και τον Markov, όταν ένα μοντέλο έχει ακριβή πολυγραμμικότητα, αυτό οφείλεται συνήθως σε λάθος αναλυτή.
4. Ομοσκεδαστικότητα
Η διακύμανση του σφάλματος, και συνεπώς του Υ, είναι ανεξάρτητη από τις επεξηγηματικές τιμές και, επιπλέον, η διακύμανση του σταθερού σφάλματος. Μαθηματικά εκφράζεται ως:
Εδώ είναι μια σειρά δεδομένων με ομοσέσταστη εμφάνιση.
5. Χωρίς αυτοσυσχέτιση
Οι όροι σφάλματος δύο διαφορετικών παρατηρήσεων που εξαρτώνται από το X δεν σχετίζονται. Εάν το δείγμα είναι τυχαίο, δεν θα υπάρξει αυτοσυσχέτιση.
Όπου πρέπει να έχω διαφορετική τιμή από το h. Εάν το δείγμα είναι τυχαίο, τα δεδομένα και τα σφάλματα παρατήρησης "i" και "h" θα είναι ανεξάρτητα για οποιοδήποτε ζεύγος παρατηρήσεων "i" και "h".
