Μεγαλύτερος κοινός παράγοντας (GCF)

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCF) είναι ο μεγαλύτερος αριθμός με τον οποίο μπορούν να διαιρεθούν δύο ή περισσότεροι αριθμοί. Αυτό, χωρίς να αφήσουμε υπολείμματα.

Δηλαδή, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης ή ο GCF είναι ο υψηλότερος αριθμός με τον οποίο μπορεί να διαιρεθεί ένα σύνολο αριθμών, με αποτέλεσμα έναν ολόκληρο αριθμό.

Ένας διαιρέτης μπορεί να οριστεί επίσημα ως αυτός ο αριθμός που περιέχεται σε έναν άλλο ακριβώς ένα αριθμό n φορές.

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι αριθμοί στους οποίους υπολογίζεται το GCF πρέπει να είναι μη μηδενικοί.

Για να το εξηγήσουμε καλύτερα, ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 35 και 15. Έτσι, παρατηρούμε ποιοι είναι οι διαχωριστές του καθενός:

• Διαχωριστές 35 → 35,7,5,1
• Διαχωριστές των 15 → 15,5,3,1

Επομένως, ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας των 35 και 15 είναι 5.

Αξίζει να σημειωθεί ότι εάν τα κοινά διαιρέτες δύο αριθμών είναι μόνο 1 και -1, καλούνται «prime μεταξύ τους».

Μέθοδοι υπολογισμού του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη

Μπορούμε να διακρίνουμε τις ακόλουθες τρεις μεθόδους για τον υπολογισμό του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη:

• Πρωταρχική αποσύνθεση παράγοντα: Οι αριθμοί αποσυντίθενται σε πρωταρχικούς αριθμούς. Στη συνέχεια, για τον υπολογισμό του GCF, παίρνουμε τους κοινούς αριθμούς που αυξάνονται στην χαμηλότερη ισχύ. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε 216 και 156:

216/2=108

108/2=54

54/2=27

27/3=9

9/3=3

3/3=1

216=(3^3)*(2^3)

156/2=78

78/2=39

39/3=13

13/13=1

156=13*3*(2^2)

Επομένως, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης μεταξύ των δύο αριθμών θα ήταν: (2 2) * 3 = 12

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τρία στοιχεία: 315, 441 και 819

315= (3^2)*7*5

441= (3^2)*(7^2)

819= (3^2)*7*13

Στη συνέχεια, αφού τα διαχωρίσετε, λαμβάνοντας κάθε διαιρέτη με τη χαμηλότερη ισχύ του, το αποτέλεσμα θα ήταν:

GCF = (3 2) * 7 = 63

• Ο αλγόριθμος του Euclid: Κατά τη διαίρεση προς την Πέρασε Μέσα σι, λαμβάνεται ένα πηλίκο ντο και ένα ρ. Έτσι, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης της προς την Γ σι είναι το ίδιο με σι Γ ρ. Αυτό, δεδομένου του εξής: a = bc + r. Για να το καταλάβουμε καλύτερα, ας εφαρμόσουμε αυτήν τη μέθοδο στο παράδειγμα που παρουσιάστηκε προηγουμένως με τα σημεία 216 και 156.

216/156 = 1 με το υπόλοιπο 60

τώρα διαιρούμε 156/60 = 2 με το υπόλοιπο 36

Διαιρούμε ξανά 60/36 = 1 με το υπόλοιπο 24

Για άλλη μια φορά διαιρούμε 36/24 = 1 με το υπόλοιπο 12

Και τέλος διαιρούμε 24/12 = 2 με το υπόλοιπο 0

Επομένως, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι 12. Όπως μπορούμε να δούμε, πρέπει να διαιρέσουμε έως ότου το υπόλοιπο είναι 0 και ο τελευταίος διαιρέτης θα είναι ο GCF.

• Με βάση το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο: Οι αριθμοί πολλαπλασιάζονται και το αποτέλεσμα διαιρείται με το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο (LCM).

Πρέπει να θυμόμαστε ότι το λιγότερο κοινό πολλαπλό (LCM) είναι το μικρότερο σχήμα που ικανοποιεί την προϋπόθεση να είναι πολλαπλάσιο όλων των στοιχείων ενός συνόλου αριθμών.

Δηλαδή, επιστρέφοντας στο ίδιο παράδειγμα, μπορούμε να αποσυνθέσουμε ως εξής:

216 = (3 3) * (2 3) και 156 = 13 * 3 * (2 2) 204 = 3 * (2 2) * 17 168 = 3 * (2 3) * 7

Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο θα ήταν: (3 3) * (2 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152

Έτσι: GCD = 216 * 156 / 2.808 = 12

Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή η μέθοδος λειτουργεί μόνο για δύο αριθμούς.