Η κατανομή Poisson είναι μια διακριτή κατανομή πιθανότητας που διαμορφώνει τη συχνότητα ορισμένων συμβάντων κατά τη διάρκεια ενός καθορισμένου χρονικού διαστήματος με βάση τη μέση συχνότητα εμφάνισης των εν λόγω συμβάντων.
Με άλλα λόγια, η κατανομή Poisson είναι μια διακριτή κατανομή πιθανότητας που, γνωρίζοντας μόνο τα γεγονότα και τη μέση συχνότητα εμφάνισης, μπορούμε να γνωρίζουμε την πιθανότητά τους.
Εκφραση
Δεδομένης μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X λέμε ότι η συχνότητά της μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά με μια κατανομή Poisson, έτσι ώστε
Η κατανομή Poisson εξαρτάται μόνο από μία παράμετρο, mu (επισημαίνεται με κίτρινο χρώμα). Η Mu αναφέρει τον αναμενόμενο αριθμό συμβάντων που θα συμβούν σε ένα καθορισμένο χρονικό διάστημα.
Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (pdf)
Αυτή η συνάρτηση νοείται ως η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή X παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή x. Είναι το εκθετικό του αρνητικού μέσου πολλαπλασιαζόμενου με το μέσο όρο που αυξάνεται στην παρατήρηση και όλα διαιρούμενο με το παραγοντικό της παρατήρησης.
Όπως υποδεικνύεται, για να γνωρίζουμε την πιθανότητα κάθε παρατήρησης, θα πρέπει να αντικαταστήσουμε όλες τις παρατηρήσεις στη συνάρτηση.
Υπολογισμός με Excel
Αν και η προηγούμενη φόρμουλα μπορεί να φαίνεται πολύ περίπλοκη, το Excel λύνει τη ζωή μας γράφοντας = POISSON και εισάγοντας τις απαραίτητες εισόδους. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας.
Η συνάρτηση εξαρτάται από τα x, mu και μια λογική τιμή. Για να υπολογίσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα θέσουμε το FALSE στη λογική τιμή, έτσι ώστε:
= POISSON (x, mu, FALSE).
= POISSON.DIST (x, mu, FALSE).
Και οι δύο λειτουργίες του Excel είναι ισοδύναμες.
Παράδειγμα Poisson στο Excel
Υποθέτουμε ότι θέλουμε να κάνουμε σκι πριν από τον Δεκέμβριο. Η πιθανότητα να ανοίξουν τα χιονοδρομικά κέντρα πριν από τον Δεκέμβριο είναι 5%. Θέλουμε να μάθουμε την πιθανότητα να ανοίξουν τα πλησιέστερα χιονοδρομικά κέντρα πριν από τον Δεκέμβριο. Από τους 100 σταθμούς υπάρχουν, υπάρχουν μόνο 3 σταθμοί που βρίσκονται κοντά. Οι βαθμολογίες για αυτούς τους 3 σταθμούς είναι 4, 9 και 6, αντίστοιχα.
Οι είσοδοι που απαιτούνται για τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας πυκνότητας Poisson είναι το σύνολο δεδομένων και mu:
- Σύνολο δεδομένων = 100 χιονοδρομικά κέντρα.
- Mu = 5% * 100 = 5 είναι ο αναμενόμενος αριθμός χιονοδρομικών κέντρων δεδομένου του συνόλου δεδομένων.
Χειροκίνητα
Προέχω
- Σύνολο δεδομένων ή δείγμα. Ένα μέρος του συνόλου δεδομένων έχει κρυφτεί για να το δείτε ως σύνολο.
- Υπολογίζω η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Poisson:
Τα κελιά με μπλε χρώμα υποδηλώνουν την πιθανότητα ότι οι κοντινοί σταθμοί θα ανοίξουν πριν από τον Δεκέμβριο. Έτσι, ο κοντινότερος σταθμός που είναι πιο πιθανό να ανοίξει πριν από τον Δεκέμβριο είναι ο σταθμός 98 με βαθμολογία 4 και πιθανότητα 17,54%.