Το μοντέλο Black-Scholes είναι ένας τύπος που χρησιμοποιείται για την αποτίμηση της τιμής μιας χρηματοοικονομικής επιλογής. Αυτός ο τύπος βασίζεται στη θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών.
Το μοντέλο Black-Scholes οφείλει το όνομά του στους δύο μαθηματικούς που το ανέπτυξαν, τους Fisher Black και Myron Scholes. Το Black-Scholes χρησιμοποιήθηκε αρχικά για να αποτιμήσει τις επιλογές μη μερισμάτων. Ή τι είναι το ίδιο, για να προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την "δίκαιη" τιμή μιας χρηματοοικονομικής επιλογής. Αργότερα, ο υπολογισμός επεκτάθηκε για όλα τα είδη επιλογών.
Αυτό το μοντέλο έλαβε το βραβείο Νόμπελ στα οικονομικά το 1997. Με αυτόν τον τρόπο, έχει γίνει ένας από τους θεμελιώδεις πυλώνες της σύγχρονης χρηματοοικονομικής θεωρίας. Πολλοί αναλυτές χρησιμοποιούν αυτήν τη μέθοδο για να αξιολογήσουν ποια είναι η κατάλληλη τιμή για μια χρηματοοικονομική επιλογή.
Παραδοχές του μοντέλου Black-Scholes
Πριν μπείτε στον τύπο και τον επόμενο υπολογισμό, είναι απαραίτητο να λάβετε υπόψη σας το μοντέλο. Μερικές αρχικές παραδοχές που λαμβάνει υπόψη το μοντέλο και που θα παραθέσουμε παρακάτω:
- Δεν υπάρχουν έξοδα συναλλαγής ή φόροι.
- Το επιτόκιο χωρίς κίνδυνο είναι σταθερό για όλες τις λήξεις.
- Το απόθεμα δεν πληρώνει μερίσματα.
- Η μεταβλητότητα παραμένει σταθερή.
- Επιτρέπεται η πώληση μικρών πωλήσεων.
- Δεν υπάρχουν ευκαιρίες arbitrage χωρίς κίνδυνο.
- Ας υποθέσουμε ότι η πιθανότητα κατανομής των αποδόσεων είναι μια κανονική κατανομή.
Τύπος Black-Scholes
Ο τύπος τιμολόγησης επιλογών Black-Scholes εκφράζεται ως εξής:
Είστε έτοιμοι να επενδύσετε στις αγορές;
Ένας από τους μεγαλύτερους μεσίτες στον κόσμο, το eToro, έκανε τις επενδύσεις στις χρηματοπιστωτικές αγορές πιο προσιτές. Τώρα οποιοσδήποτε μπορεί να επενδύσει σε μετοχές ή να αγοράσει κλάσματα μετοχών με προμήθειες 0%. Ξεκινήστε να επενδύετε τώρα με κατάθεση μόλις 200 $. Να θυμάστε ότι είναι σημαντικό να εκπαιδεύεστε για επενδύσεις, αλλά φυσικά σήμερα όλοι μπορούν να το κάνουν.
Το κεφάλαιό σας κινδυνεύει. Ενδέχεται να ισχύουν άλλες χρεώσεις. Για περισσότερες πληροφορίες, επισκεφτείτε το stocks.eToro.com
Θέλω να επενδύσω με τον Etoro
Οπου:
- Γ = Τιμή αγοράς της επιλογής σήμερα (T = 0) σε ευρώ.
- Τ = περίοδο έως τη λήξη σε έτη (3 μήνες = 0,25 έτη).
- r = επιτόκιο χωρίς κίνδυνο. Η κερδοφορία του κρατικού χρέους τόσο πολύ ανά ένα
- σίγμα = μεταβλητότητα ανά άτομο.
- Χ = Τιμή άσκησης της επιλογής αγοράς σε ευρώ.
- S = Τιμή μετοχής σε T = 0 σε ευρώ.
- Ν (d1 και d2) = Τιμή της συνάρτησης αθροιστικής πιθανότητας μιας κανονικής κατανομής με μηδενικό μέσο όρο και μία τυπική απόκλιση.
Παράδειγμα υπολογισμού Black-Scholes
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την αξία μιας επιλογής κλήσης, η οποία έχει 3 μήνες να λήξει, με τιμή προειδοποίησης 40 ευρώ. Η τιμή της μετοχής είναι 50 ευρώ. Η ετήσια μεταβλητότητα είναι 30% (0,3). Και το επιτόκιο 3 μηνών χωρίς κίνδυνο είναι 10%. Το απόθεμα δεν πληρώνει μερίσματα για τους επόμενους τρεις μήνες.
Ως εκ τούτου:
- Γ = Τιμή αγοράς της επιλογής σήμερα (T = 0) σε ευρώ.
- Τ = 0,25.
- r = 0,1.
- σίγμα = 0,3.
- Χ = 40 ευρώ.
- S = 50 ευρώ.
Υπολογίζουμε τα d1 και d2:
- d1 = 1,72.
- δ2 = 1,57.
- Ν (d1) = 0,9573.
- Ν (d2) = 0,9418.
Παρεμπιπτόντως, για να λάβετε τις τελευταίες τιμές των d1 και d2 είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τους πίνακες πιθανότητας.
Μόλις έχουμε όλα τα δεδομένα, αντικαθιστούμε στον αρχικό τύπο:
Έτσι, σύμφωνα με την Black-Scholes, η κατάλληλη τιμή για την επιλογή κλήσης μας είναι 11.123 ευρώ.
Περιορισμοί του μοντέλου Black-Scholes
Αν και το μοντέλο Black-Scholes προσφέρει μια εξαιρετική λύση στο πρόβλημα του υπολογισμού μιας κατάλληλης τιμής για μια επιλογή, έχει κάποιους περιορισμούς.
Είναι ένα μοντέλο, δηλαδή, μια προσαρμογή της πραγματικότητας. Ως εκ τούτου, ως προσαρμογή στην πραγματικότητα, δεν την αντιπροσωπεύει τέλεια. Το Black-Scholes υπολογίζει την τιμή για επιλογές που μπορούν να ασκηθούν ή να διακανονιστούν μόνο κατά τη λήξη. Ωστόσο, οι επιλογές των ΗΠΑ μπορούν να ασκηθούν πριν από τη λήξη. Επιπλέον, υποθέτει επίσης ότι το απόθεμα δεν πληρώνει μερίσματα. Και, ότι τόσο το ποσοστό κινδύνου όσο και η μεταβλητότητα είναι σταθερά. Αυτό δεν ισχύει στην πραγματικότητα, καθώς πολλά αποθέματα πληρώνουν μερίσματα. Τέλος, η μεταβλητότητα και τα ποσοστά χωρίς κίνδυνο αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου, επομένως αυτή η υπόθεση δεν ισχύει.
Μαθηματικό μοντέλο
