Οι ιδιότητες των εκτιμητών είναι οι ιδιότητες που μπορούν να έχουν και χρησιμεύουν στην επιλογή εκείνων που είναι πιο ικανοί να δίνουν καλά αποτελέσματα.
Αρχικά ορίζοντας την έννοια του εκτιμητή, θα το πούμε ότι με δεδομένο οποιοδήποτε τυχαίο δείγμα (x1, Χ2, Χ3,…, Χν) ένας εκτιμητής αντιπροσωπεύει έναν πληθυσμό που εξαρτάται από μια παράμετρο που δεν γνωρίζουμε.
Αυτή η παράμετρος, την οποία δηλώνουμε με το ελληνικό γράμμα fi (φ), μπορεί να είναι, για παράδειγμα, ο μέσος όρος οποιασδήποτε τυχαίας μεταβλητής.
Μαθηματικά, ένας υπολογιστής Q μίας παραμέτρου εξαρτάται από τις τυχαίες παρατηρήσεις στο δείγμα (x1, Χ2, Χ3,…, Χν) και μια γνωστή συνάρτηση (h) του δείγματος. Ο εκτιμητής (Q) θα είναι μια τυχαία μεταβλητή επειδή εξαρτάται από το δείγμα που περιέχει τυχαίες μεταβλητές.
Q = h (x1, Χ2, Χ3,…, Χν)
Αμεροληψία εκτιμητή
Ένας Q εκτιμητής του φ είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής εάν E (Q) = φ για όλες τις πιθανές τιμές του φ. Ορίζουμε το E (Q) ως την αναμενόμενη τιμή ή την προσδοκία του εκτιμητή Q.
Στην περίπτωση προκατειλημμένων εκτιμητών, αυτή η προκατάληψη θα εκπροσωπείται ως:
Μεροληψία (Q) = E (Q) - φ
Μπορούμε να δούμε ότι η μεροληψία είναι η διαφορά μεταξύ της αναμενόμενης τιμής του εκτιμητή, E (Q) και της πραγματικής τιμής της παραμέτρου πληθυσμού, φ.
Εκτίμηση σημείουΑποδοτικότητα ενός εκτιμητή
Ναι Ε1 και Q2 είναι δύο αμερόληπτοι εκτιμητές του φ, η σχέση τους με το Q θα είναι αποτελεσματική2 όταν Var (Q1) ≤ Var (Ε2) για οποιαδήποτε τιμή φ, εφόσον το στατιστικό δείγμα του φ είναι αυστηρά μεγαλύτερο από 1, n> 1. Όπου το Var είναι η διακύμανση και το n είναι το μέγεθος του δείγματος.
Διαισθητικά δηλωμένο, υποθέτοντας ότι έχουμε δύο εκτιμητές με την αμερόληπτη ιδιότητα, μπορούμε να το πούμε αυτό (Ερ1) είναι πιο αποτελεσματικό από ένα άλλο (Q2) εάν η μεταβλητότητα των αποτελεσμάτων ενός (Q1) είναι μικρότερο από αυτό του άλλου (Q2). Είναι λογικό να πιστεύουμε ότι ένα πράγμα που διαφέρει περισσότερο από ένα άλλο είναι λιγότερο "ακριβές".
Επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό το κριτήριο μόνο για την επιλογή εκτιμητών όταν είναι αμερόληπτοι. Στην προηγούμενη δήλωση όταν ορίζουμε την αποδοτικότητα, υποθέτουμε ήδη ότι οι εκτιμητές πρέπει να είναι αμερόληπτοι.
Για να συγκρίνετε εκτιμητές που δεν είναι απαραίτητα αμερόληπτοι, δηλαδή μπορεί να υπάρχουν προκαταλήψεις, συνιστάται να υπολογίσετε το μέσο τετράγωνο σφάλμα (MSE) των εκτιμητών.
Εάν το Q είναι εκτιμητής του φ, τότε η ECM του Q ορίζεται ως:
Το μέσο τετράγωνο σφάλμα (MSE) υπολογίζει τη μέση απόσταση που υπάρχει μεταξύ της αναμενόμενης τιμής του εκτιμητή δείγματος Q και του εκτιμητή πληθυσμού. Η τετραγωνική μορφή του ECM οφείλεται στο γεγονός ότι τα σφάλματα μπορεί να είναι από προεπιλογή, αρνητικά ή υπερβολικά, θετικά, σε σχέση με την αναμενόμενη τιμή. Με αυτόν τον τρόπο, η ECM θα υπολογίζει πάντα θετικές τιμές.
Η ECM εξαρτάται από τη διακύμανση και την προκατάληψη (εάν υπάρχει) που μας επιτρέπει να συγκρίνουμε δύο εκτιμητές όταν ένας ή και οι δύο είναι προκατειλημμένοι. Εκείνο του οποίου το NDE είναι μεγαλύτερο θα γίνει κατανοητό ότι είναι λιγότερο ακριβές (έχει μεγαλύτερο σφάλμα) και, συνεπώς, λιγότερο αποτελεσματικό.
Συνοχή ενός εκτιμητή
Η συνέπεια είναι μια ασυμπτωτική ιδιότητα. Αυτή η ιδιότητα μοιάζει με την ιδιότητα αποδοτικότητας με τη διαφορά ότι η συνέπεια μετρά την πιθανή απόσταση μεταξύ της τιμής του εκτιμητή και της πραγματικής τιμής της παραμέτρου πληθυσμού καθώς το μέγεθος του δείγματος αυξάνεται επ 'αόριστον. Αυτή η απεριόριστη αύξηση του μεγέθους του δείγματος είναι η βάση της ασυμπτωτικής ιδιότητας.
Υπάρχει μια ελάχιστη διάσταση δείγματος για τη διεξαγωγή της ασυμπτωτικής ανάλυσης (ελέγξτε τη συνέπεια του εκτιμητή καθώς το δείγμα αυξάνεται). Μεγάλες προσεγγίσεις δειγμάτων λειτουργούν καλά για δείγματα περίπου 20 παρατηρήσεων, (n = 20). Με άλλα λόγια, θέλουμε να δούμε πώς συμπεριφέρεται ο εκτιμητής όταν αυξάνουμε το δείγμα, αλλά αυτή η αύξηση τείνει στο άπειρο. Δεδομένου αυτού, κάνουμε μια προσέγγιση και από 20 παρατηρήσεις σε ένα δείγμα (n ≥ 20), η ασυμπτωτική ανάλυση είναι κατάλληλη.
Μαθηματικά, ορίζουμε το Q1n ως εκτιμητής του φ από οποιοδήποτε τυχαίο δείγμα (x1, Χ2, Χ3,…, Χν) μεγέθους (ν). Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι το Qν είναι ένας σταθερός εκτιμητής του φ εάν:
Αυτό μας λέει ότι οι διαφορές μεταξύ του εκτιμητή και της τιμής του πληθυσμού, | Qν - φ |, πρέπει να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν. Γι 'αυτό το εκφράζουμε σε απόλυτη αξία. Η πιθανότητα αυτής της διαφοράς τείνει να είναι 0 (γίνεται όλο και μικρότερη) όταν το μέγεθος του δείγματος (ντείνει στο άπειρο (γίνεται όλο και μεγαλύτερο).
Με άλλα λόγια, είναι λιγότερο και λιγότερο πιθανό το Qν κινείται πολύ μακριά από το φ όταν αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος.