Ένας αμερόληπτος εκτιμητής είναι αυτός του οποίου η μαθηματική προσδοκία συμπίπτει με την τιμή της παραμέτρου που θέλετε να εκτιμήσετε. Εάν δεν συμπίπτουν, ο εκτιμητής λέγεται ότι έχει προκατάληψη.
Ο λόγος για την αναζήτηση ενός αμερόληπτου εκτιμητή είναι ότι η παράμετρος που θέλουμε να εκτιμήσουμε είναι καλά υπολογισμένη. Με άλλα λόγια, αν θέλουμε να εκτιμήσουμε τους μέσους στόχους ανά παιχνίδι ενός συγκεκριμένου ποδοσφαιριστή, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε έναν τύπο που να μας δίνει μια τιμή όσο το δυνατόν πιο κοντά στην πραγματική αξία.
Σε περίπτωση που η προσδοκία του εκτιμητή δεν συμπίπτει με την πραγματική τιμή της παραμέτρου, ο εκτιμητής λέγεται ότι έχει προκατάληψη. Η προκατάληψη μετράται ως η διαφορά μεταξύ της τιμής προσδοκίας του εκτιμητή και της πραγματικής τιμής. Μαθηματικά μπορεί να σημειωθεί ως εξής:
Από τον παραπάνω τύπο το πρώτο και τελευταίο μέρος είναι σαφές. Δηλαδή, η προσδοκία του εκτιμητή είναι ίση με την πραγματική τιμή της παραμέτρου. Εάν ισχύει αυτή η ισότητα, τότε ο εκτιμητής είναι αμερόληπτος. Το μαθηματικά πιο αφηρημένο μεσαίο μέρος εξηγείται στην επόμενη παράγραφο.
Ο μέσος όρος όλων των εκτιμήσεων που μπορεί να κάνει ο εκτιμητής για κάθε διαφορετικό δείγμα είναι ίσος με την παράμετρο. Για παράδειγμα, εάν έχουμε 30 διαφορετικά δείγματα, το φυσιολογικό είναι ότι σε κάθε δείγμα ο εκτιμητής (ακόμη και αν είναι ελαφρώς) προσφέρει διαφορετικές τιμές. Εάν λάβουμε τον μέσο όρο των 30 τιμών του εκτιμητή στα 30 διαφορετικά δείγματα, τότε ο εκτιμητής θα πρέπει να επιστρέψει μια τιμή ίση με την πραγματική τιμή της παραμέτρου.
Εκτίμηση σημείουΗ προκατάληψη ενός εκτιμητή
Ένας αμερόληπτος εκτιμητής δεν μπορεί πάντα να βρεθεί για τον υπολογισμό μιας συγκεκριμένης παραμέτρου. Έτσι ο εκτιμητής μας μπορεί να είναι μεροληπτικός. Το ότι ο εκτιμητής έχει προκατάληψη δεν σημαίνει ότι δεν είναι έγκυρος. Σημαίνει απλώς ότι δεν ταιριάζει όσο στατιστικά θα θέλαμε.
Τούτου λεχθέντος, ακόμα κι αν δεν ταιριάζει όπως θα θέλαμε, μερικές φορές δεν έχουμε άλλη επιλογή από το να χρησιμοποιήσουμε έναν προκατειλημμένο εκτιμητή. Επομένως, είναι ζωτικής σημασίας να γνωρίζουμε το μέγεθος αυτής της προκατάληψης. Εάν το γνωρίζουμε, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες στα συμπεράσματα της έρευνάς μας. Μαθηματικά η προκατάληψη ορίζεται ως εξής:
Στον παραπάνω τύπο η μεροληψία είναι μη μηδενική τιμή. Εάν ήταν μηδέν, τότε ο εκτιμητής θα ήταν αμερόληπτος.
Παράδειγμα αμερόληπτου εκτιμητή
Ένα παράδειγμα αμερόληπτου εκτιμητή βρίσκεται στον μέσο εκτιμητή. Αυτός ο εκτιμητής είναι γνωστός στα στατιστικά ως το μέσο δείγμα. Εάν χρησιμοποιήσουμε τον μαθηματικό τύπο που περιγράφεται στην αρχή, συμπεραίνουμε ότι ο μέσος δείκτης είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής. Πριν από τη λειτουργία, πρέπει να λάβουμε υπόψη τις ακόλουθες πληροφορίες:
Υποδηλώνουμε το Χ με μια γραμμή πάνω από το μέσο όρο του δείγματος.
Ο τύπος για το μέσο δείγμα είναι το άθροισμα των n τιμών που έχουμε διαιρέσει με τον αριθμό των τιμών. Εάν έχουμε 20 δεδομένα, το n θα είναι ίσο με 20. Θα πρέπει να προσθέσουμε τις τιμές των 20 δεδομένων και να τα διαιρέσουμε με 20.
Η παραπάνω σημείωση σημαίνει προσδοκία ή αναμενόμενη τιμή του μέσου δείγματος. Ειλικρινά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι υπολογίζεται ως η μέση τιμή του μέσου δείγματος. Έχοντας αυτό κατά νου, χρησιμοποιώντας τις κατάλληλες μαθηματικές τεχνικές μπορούμε να συμπεράνουμε τα εξής:
Η προσδοκία του εκτιμητή συμπίπτει με το «mu» που είναι η πραγματική τιμή της παραμέτρου. Δηλαδή, το πραγματικό μέσο. Όλα έχουν ειπωθεί, ορισμένες βασικές έννοιες για τα μαθηματικά είναι απαραίτητες για την κατανόηση της προηγούμενης εξέλιξης.
Παρομοίως, θα μπορούσαμε να προσπαθήσουμε να κάνουμε το ίδιο με τον εκτιμητή της διακύμανσης δείγματος. Σε αυτό που ακολουθεί το S τετράγωνο είναι η διακύμανση δείγματος και το ελληνικό γράμμα sigma (που μοιάζει με το γράμμα o με ραβδί στα δεξιά) είναι η πραγματική διακύμανση.
Η διαφορά από τον παραπάνω τύπο είναι το δεύτερο μέρος του πρώτου τύπου. Και συγκεκριμένα:
Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η διακύμανση του δείγματος ως εκτιμητής της διακύμανσης του πληθυσμού είναι προκατειλημμένη. Η μεροληψία του είναι ίση με την παραπάνω τιμή Έτσι, εξαρτάται από τη διακύμανση του πληθυσμού και το μέγεθος του δείγματος (n). Σημειώστε ότι εάν το n (μέγεθος δείγματος) γίνει πολύ μεγάλο, η μεροληψία τείνει στο μηδέν.
Εάν όταν το δείγμα τείνει να είναι πολύ μεγάλο, ο εκτιμητής πλησιάζει την πραγματική τιμή της παραμέτρου, τότε μιλάμε για έναν ασυμπτωτικά αμερόληπτο εκτιμητή.