Ο όρος κοίλο χρησιμοποιείται για να περιγράψει μια επιφάνεια που έχει εσωτερική καμπυλότητα, με το κεντρικό της μέρος να είναι η πιο βυθισμένη ή καταθλιπτική.
Ως εκ τούτου, λέμε ότι ένας λόφος ή ένα εμπόδιο όπως αυτό που μπορεί να φανεί στους δρόμους για να περιορίσει την ταχύτητα, είναι κοίλο.
Παρομοίως, είναι δυνατό να αναλυθεί εάν υπάρχουν γεωμετρικά σχήματα που είναι επίσης κοίλα. Για παράδειγμα, μια κοίλη καμπύλη είναι μία με ανεστραμμένο σχήμα U. Ένας τρόπος να θυμάστε εύκολα πώς είναι μια κοίλη λειτουργία είναι ένα θλιβερό πρόσωπο.
Αν και η χρήση που κάναμε για την κοιλότητα σχετίζεται με μια καμπύλη, η αλήθεια είναι ότι ισχύει επίσης για μαθηματικές συναρτήσεις και πολύγωνα, όπως θα δούμε αργότερα.
Πώς να ξέρετε εάν μια συνάρτηση είναι κοίλη;
Εάν το δεύτερο παράγωγο μιας συνάρτησης είναι μικρότερο από το μηδέν σε ένα σημείο, τότε η συνάρτηση είναι κοίλη σε αυτό το σημείο.
Τα παραπάνω μπορούν να εκφραστούν ως εξής:
f »(x) <0
Για παράδειγμα, έχουμε τη συνάρτηση f (x) = -x2 + 2x + 5. Το πρώτο παράγωγο είναι f '(x) = -2x +2 και το δεύτερο παράγωγο θα είναι f »(x) = -2. Επομένως, η συνάρτηση f (x) = x2 + x + 3 είναι κοίλο για κάθε τιμή x, όπως βλέπουμε στο παρακάτω γράφημα, το οποίο είναι παραβολή:
Ας φανταστούμε τώρα αυτήν την άλλη συνάρτηση f (x) = x3-5χ2 +7. Το πρώτο παράγωγο f '(x) = 3x2 -10x και το δεύτερο παράγωγο f »(x) = 6x -10. Μόλις υπολογίσουμε το δεύτερο παράγωγο, πρέπει να ελέγξουμε τις τιμές του x, η συνάρτηση είναι κυρτή.
Ορίσαμε λοιπόν το δεύτερο παράγωγο ίσο με 0:
f »(x) = 6x-10 = 0
6x = 10
x = 1,67
Επομένως, η συνάρτηση είναι κοίλη όταν το x είναι μικρότερο από 1,67, καθώς το δεύτερο παράγωγο της εξίσωσης είναι αρνητικό. Μπορούμε να το ελέγξουμε αντικαθιστώντας διαφορετικές τιμές x. Ομοίως, η συνάρτηση είναι κυρτή όταν το x είναι μεγαλύτερο από 1,67, όπως μπορούμε να δούμε στην παρακάτω εικόνα:
Κοίλο πολύγωνο
Ένα κοίλο πολύγωνο είναι εκεί όπου, για να ενώσετε δύο από τα σημεία του, πρέπει να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή που είναι έξω από το σχήμα (μια εξωτερική διαγώνια). Επίσης, τουλάχιστον μία από τις εσωτερικές γωνίες της είναι μεγαλύτερη από 180º. Αυτή είναι η περίπτωση, για παράδειγμα, ενός κοίλου τετράπλευρου, όπως αυτό που βλέπουμε παρακάτω:
Το αντίθετο ενός κοίλου πολυγώνου είναι κυρτό. Αυτό είναι εκείνο όπου όλες οι εσωτερικές γωνίες είναι μικρότερες από 180º και, για να ενώσετε δύο σημεία στο σχήμα, μπορεί να σχεδιαστεί μια ευθεία γραμμή που παραμένει εντός του πολυγώνου.