Απλές ή / και πολλαπλές παλινδρομήσεις συχνά ενσωματώνουν λογάριθμους στην εξίσωση προκειμένου να παρέχουν σταθερότητα στους παλινδρόμους, να μειώνουν τα ακραία σημεία και να δημιουργούν διαφορετικές απόψεις της εκτίμησης, μεταξύ άλλων εφαρμογών.
Η κύρια χρησιμότητα των λογαρίθμων για την οικονομετρική ανάλυση είναι η ικανότητά τους να εξαλείψουν την επίδραση των μονάδων των μεταβλητών στους συντελεστές. Μια διακύμανση στις μονάδες δεν συνεπάγεται αλλαγή στους συντελεστές κλίσης της παλινδρόμησης. Για παράδειγμα, αν αντιμετωπίσουμε τις τιμές ως εξαρτημένη μεταβλητή (Y) και η ηχορύπανση ως ανεξάρτητη μεταβλητή (X).
Για να δείτε τα παραπάνω πιο καθαρά, ας φανταστούμε ότι έχουμε μια μεταβλητή σε ευρώ και μια άλλη σε κιλά. Εάν περάσουμε τις δύο μεταβλητές σε λογάριθμους, θα τις μετρήσουμε στις ίδιες «μονάδες» και επομένως το μοντέλο μας θα έχει μεγαλύτερη σταθερότητα.
Μπορούμε να βρούμε φυσικούς λογάριθμους, (ln), όπου η βάση είναι eΧ, και λογάριθμοι άλλων βάσεων, (log). Στα χρηματοοικονομικά, ο φυσικός λογάριθμος χρησιμοποιείται περισσότερο λόγω της σκέψης του eΧ να εκμεταλλευτείτε τις τρέχουσες αποδόσεις μιας επένδυσης. Στην οικονομετρία είναι επίσης κοινό να χρησιμοποιείται ο φυσικός λογάριθμος.
Ανάλυση παλινδρόμησηςΘεωρήσεις λογαρίθμου στην Οικονομετρική Ανάλυση
Ένα άλλο πλεονέκτημα της εφαρμογής λογαρίθμων έναντι του Υ είναι η ικανότητά του να περιορίζει το εύρος της μεταβλητής κατά μικρότερο ποσό από το αρχικό. Αυτό το αποτέλεσμα μειώνει την ευαισθησία των εκτιμήσεων σε ακραίες ή άτυπες παρατηρήσεις, τόσο για τις ανεξάρτητες όσο και για τις εξαρτημένες μεταβλητές. Οι ακραίες τιμές είναι δεδομένα που, ως αποτέλεσμα σφαλμάτων ή λόγω δημιουργίας διαφορετικού μοντέλου, είναι αρκετά διαφορετικά από τα περισσότερα άλλα δεδομένα. Ένα ακραίο παράδειγμα θα ήταν ένα δείγμα όπου η πλειοψηφία των παρατηρήσεων είναι περίπου 0,5 και υπάρχουν μερικές παρατηρήσεις με τιμές 2,5 ή 4.
Το κύριο χαρακτηριστικό που αναζητούμε από τις μεταβλητές, ώστε να μπορούμε να εφαρμόσουμε λογάριθμους είναι ότι είναι αυστηρά θετικές ποσότητες. Τα πιο τυπικά παραδείγματα είναι οι μισθοί, ο αριθμός των πωλήσεων μιας εταιρείας, η αγοραία αξία των εταιρειών κ.λπ. Περιλαμβάνουμε επίσης τις μεταβλητές που μπορούμε να μετρήσουμε σε χρόνια, για παράδειγμα, ηλικία, εργασιακή εμπειρία, έτη διδασκαλίας, διάρκεια υπηρεσίας σε μια εταιρεία κ.λπ.
Κανονικά, σε δείγματα που περιέχουν μεγάλο αριθμό στοιχείων, έχουν ήδη εφαρμοστεί λογάριθμοι και παρουσιάζονται μετασχηματισμένοι για να διευκολύνουν την ερμηνεία τους. Μερικά παραδείγματα μεταβλητών όπου μπορούμε να εφαρμόσουμε λογάριθμους θα ήταν ο αριθμός των μαθητών που εγγράφονται σε εκπαιδευτικά ιδρύματα, οι ισπανικές ενδοκοινοτικές εξαγωγές εσπεριδοειδών, ο πληθυσμός της Ευρωπαϊκής Ένωσης κ.λπ.
Οι μεταβλητές που αντιπροσωπεύονται από αναλογίες ή ποσοστά μπορούν να εμφανίζονται και με τους δύο τρόπους εναλλακτικά, αν και υπάρχει γενικευμένη προτίμηση για χρήση στην αρχική τους κατάσταση (γραμμική μορφή). Αυτό συμβαίνει επειδή ο παλινδρόμος θα έχει διαφορετική ερμηνεία ανάλογα με το εάν έχουν εφαρμοστεί λογαρίθμες στις μεταβλητές παλινδρόμησης. Ένα παράδειγμα θα ήταν η ετήσια αύξηση του δείκτη τιμών καταναλωτή στην Ισπανία. Ο παρακείμενος πίνακας παραθέτει τις διαφορετικές ερμηνείες του παλινδρόμου, στην περίπτωση αυτή μια απλή παλινδρόμηση.
Ερμηνεία των λογαρίθμων στην οικονομετρία
Ακολουθεί ένας συνοπτικός πίνακας για τον τρόπο υπολογισμού και ερμηνείας των λογαρίθμων σε ένα μοντέλο οικονομετρικής παλινδρόμησης.
Θα το εξηγήσουμε με απλούστερο τρόπο, ώστε να γίνει καλύτερα κατανοητό.
- Το μοντέλο Level-Level αντιπροσωπεύει τις μεταβλητές στην αρχική τους μορφή (παλινδρόμηση σε γραμμική μορφή). Δηλαδή, μια αλλαγή μιας μονάδας στο Χ επηρεάζει το β1 μονάδες σε Y.
- Το μοντέλο Level-Log ερμηνεύεται ως αύξηση της αλλαγής 1% στο Χ που σχετίζεται με μεταβολή στο Υ 0,01 · β1.
- Το μοντέλο Log-Level είναι το λιγότερο συχνά χρησιμοποιούμενο και είναι γνωστό ως ημι-ελαστικότητα του Y σε σχέση με το X. Ερμηνεύεται ότι η αύξηση 1 μονάδας στο X σχετίζεται με αλλαγή στο Y του1 )%.
- Το μοντέλο Log-Log αποδίδεται στο β1 η ελαστικότητα του Υ, σε σχέση με το Χ. Ερμηνεύεται ότι μια αύξηση 1% στο Χ σχετίζεται με μια αλλαγή στο Υ του Β1%.