Η ανισότητα του Chebyshev είναι ένα θεώρημα που χρησιμοποιείται στις στατιστικές που παρέχει μια συντηρητική εκτίμηση (διάστημα εμπιστοσύνης) της πιθανότητας ότι μια τυχαία μεταβλητή με πεπερασμένη διακύμανση θα βρίσκεται σε μια ορισμένη απόσταση από τη μαθηματική προσδοκία ή τη μέση τιμή της.
Η επίσημη έκφρασή του έχει ως εξής:
X = Εκτιμώμενη τιμή
µ = Μαθηματική προσδοκία της εκτιμώμενης τιμής
Standard = Τυπική απόκλιση της αναμενόμενης τιμής
k = Αριθμός τυπικών αποκλίσεων
Ξεκινώντας από αυτήν τη γενική έκφραση και αναπτύσσοντας το τμήμα που παραμένει στην απόλυτη τιμή θα έχουμε τα εξής:
Εάν δώσουμε προσοχή στην προηγούμενη έκφραση, μπορεί να φανεί ότι το μέρος προς τα αριστερά δεν είναι περισσότερο από ένα διάστημα εμπιστοσύνης. Αυτό μας προσφέρει τόσο ένα κατώτερο όσο και ένα ανώτερο όριο για την εκτιμώμενη τιμή. Επομένως, η ανισότητα Chebyshev μας λέει την ελάχιστη πιθανότητα ότι η παράμετρος του πληθυσμού βρίσκεται εντός ενός ορισμένου αριθμού τυπικών αποκλίσεων πάνω ή κάτω από τη μέση τιμή της. Ή με άλλα λόγια, μας δίνει την πιθανότητα ότι η παράμετρος του πληθυσμού βρίσκεται εντός αυτού του διαστήματος εμπιστοσύνης.
Η ανισότητα του Chebyshev παρέχει κατά προσέγγιση όρια για την εκτιμώμενη τιμή. Παρά το ότι έχει κάποιο βαθμό ανακρίβειας, είναι ένα πολύ χρήσιμο θεώρημα, δεδομένου ότι μπορεί να εφαρμοστεί σε ένα ευρύ φάσμα τυχαίων μεταβλητών ανεξάρτητα από τις κατανομές τους. Ο μόνος περιορισμός για να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσω αυτήν την ανισότητα είναι ότι το k πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 1 (k> 1).
Μαθηματική ανισότηταΠαράδειγμα εφαρμογής της ανισότητας του Τσέμπισεφ
Ας υποθέσουμε ότι είμαστε διαχειριστές ενός επενδυτικού ταμείου. Το χαρτοφυλάκιο που διαχειριζόμαστε έχει μέση απόδοση 8,14% και τυπική απόκλιση 5,12%. Για να μάθουμε, για παράδειγμα, ποιο ποσοστό των επιστροφών μας είναι τουλάχιστον 3 τυπικές αποκλίσεις από τη μέση κερδοφορία μας, θα εφαρμόζαμε απλώς τον προηγούμενο τύπο έκφρασης 2.
k = 1,96
Αντικαθιστώντας την τιμή του k: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%
Αυτό σημαίνει ότι το 73,9% των αποτελεσμάτων βρίσκεται στο διάστημα εμπιστοσύνης που βρίσκεται σε 1,96 τυπικές αποκλίσεις από το μέσο όρο.
Ας κάνουμε το προηγούμενο παράδειγμα για τιμές εκτός από k.
k = 2,46
k = 3
Αντικαθιστώντας την τιμή k: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%
Αντικαθιστώντας την τιμή k: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%
Υπάρχουν 83,5% των δεδομένων που βρίσκονται σε απόσταση 2,46 τυπικών αποκλίσεων από το μέσο όρο και 88,9% που βρίσκονται εντός 3 τυπικών αποκλίσεων του μέσου όρου.
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Chebyshev, είναι εύκολο να συναχθεί ότι όσο υψηλότερη είναι η τιμή του Κ (όσο μεγαλύτερη είναι η απόκλιση της εκτιμώμενης τιμής από το μέσο όρο), τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή βρίσκεται εντός του οριακού διαστήματος.
ΚέρτωσηΚεντρικό θεώρημα ορίουΑνισότητα