Το μοντέλο AR (1) είναι ένα αυτεπαρκτικό μοντέλο που βασίζεται αποκλειστικά σε καθυστέρηση.
Με άλλα λόγια, η αυτοανάβαση πρώτης τάξης, AR (1), υποχωρεί την αυτοανάβαση για μια χρονική περίοδο.
Προτεινόμενα άρθρα: Αυθόρμητο μοντέλο και φυσικοί λογάριθμοι.
Τύπος ενός AR (1)
Αν και η σημειογραφία μπορεί να διαφέρει από τον έναν συγγραφέα στον άλλο, ο γενικός τρόπος για να αντιπροσωπεύσετε ένα AR (1) θα ήταν ο ακόλουθος:
Δηλαδή, σύμφωνα με το μοντέλο AR (1), η μεταβλητή y στο χρόνο t είναι ίση με μια σταθερά (c), συν τη μεταβλητή στο (t-1) πολλαπλασιασμένη επί τον συντελεστή, συν το σφάλμα. Πρέπει να σημειωθεί ότι η σταθερά «c» μπορεί να είναι θετικός, αρνητικός ή μηδενικός αριθμός.
Όσον αφορά την τιμή του θήτα, δηλαδή, ο συντελεστής πολλαπλασιασμένος επί το y (t-1), μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές. Ωστόσο, μπορούμε να το συνοψίσουμε περίπου σε δύο:
Θήτα μεγαλύτερο ή ίσο με 1
| Θήτα | μικρότερο ή ίσο με 1:
Υπολογισμός της προσδοκίας και της διακύμανσης της διαδικασίας
Πρακτικό παράδειγμα
Υποθέτουμε ότι θέλουμε να μελετήσουμε την τιμή των πάσων για αυτή τη σεζόν 2019 (t) μέσω ενός αυτοεπιθετικού μοντέλου της παραγγελίας 1 (AR (1)) Δηλαδή, πρόκειται να επιστρέψουμε μια περίοδο (t-1) στις εξαρτώμενες μεταβλητές forfaits για να μπορέσουμε να κάνουμε την αυτόματη επέκταση. Με άλλα λόγια, ας κάνουμε μια παλινδρόμηση σκιτ για κάρτες σκιt-1.
Το μοντέλο θα ήταν:
Η έννοια της αυτοανάβασης είναι ότι η παλινδρόμηση γίνεται με τις ίδιες μεταβλητές forfaits αλλά σε διαφορετική χρονική περίοδο (t-1 και t).
Χρησιμοποιούμε λογάριθμους επειδή οι μεταβλητές εκφράζονται σε νομισματικές μονάδες. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούμε φυσικούς λογάριθμους επειδή η βάση τους είναι ο αριθμός e, που χρησιμοποιείται για την κεφαλαιοποίηση μελλοντικών εσόδων.
Έχουμε τις τιμές των εισιτηρίων από το 1995 έως το 2018:
| Ετος | Κάρτες σκι (€) | Ετος | Περνά σκι (€) |
| 1995 | 32 | 2007 | 88 |
| 1996 | 44 | 2008 | 40 |
| 1997 | 50 | 2009 | 68 |
| 1998 | 55 | 2010 | 63 |
| 1999 | 40 | 2011 | 69 |
| 2000 | 32 | 2012 | 72 |
| 2001 | 34 | 2013 | 75 |
| 2002 | 60 | 2014 | 71 |
| 2003 | 63 | 2015 | 73 |
| 2004 | 64 | 2016 | 63 |
| 2005 | 78 | 2017 | 67 |
| 2006 | 80 | 2018 | 68 |
| 2019 | ? |
Επεξεργάζομαι, διαδικασία
Με βάση τα δεδομένα από το 1995 έως το 2018, υπολογίζουμε τους φυσικούς λογάριθμους του κάρτες σκιγια κάθε έτος:
| Ετος | Κάρτες σκι (€) | ln_t | ln_t-1 | Ετος | Κάρτες σκι (€) | ln_t | ln_t-1 |
| 1995 | 32 | 3,4657 | 2007 | 88 | 4,4773 | 4,3820 | |
| 1996 | 44 | 3,7842 | 3,4657 | 2008 | 40 | 3,6889 | 4,4773 |
| 1997 | 50 | 3,9120 | 3,7842 | 2009 | 68 | 4,2195 | 3,6889 |
| 1998 | 55 | 4,0073 | 3,9120 | 2010 | 63 | 4,1431 | 4,2195 |
| 1999 | 40 | 3,6889 | 4,0073 | 2011 | 69 | 4,2341 | 4,1431 |
| 2000 | 32 | 3,4657 | 3,6889 | 2012 | 72 | 4,2767 | 4,2341 |
| 2001 | 34 | 3,5264 | 3,4657 | 2013 | 75 | 4,3175 | 4,2767 |
| 2002 | 60 | 4,0943 | 3,5264 | 2014 | 71 | 4,2627 | 4,3175 |
| 2003 | 63 | 4,1431 | 4,0943 | 2015 | 73 | 4,2905 | 4,2627 |
| 2004 | 64 | 4,1589 | 4,1431 | 2016 | 63 | 4,1431 | 4,2905 |
| 2005 | 78 | 4,3567 | 4,1589 | 2017 | 67 | 4,2047 | 4,1431 |
| 2006 | 80 | 4,3820 | 4,3567 | 2018 | 68 | 4,2195 | 4,2047 |
| 2019 | ? | ? | 4,2195 |
Για να κάνουμε την παλινδρόμηση, χρησιμοποιούμε τις τιμές ln_t ως εξαρτημένη μεταβλητή και τις τιμές ln_t-1 ως ανεξάρτητη μεταβλητή. Οι εκκολαφθείσες τιμές είναι εκτός παλινδρόμησης.
Στο excel: = LINEST (ln_t; ln_t-1; true; true)
Επιλέξτε όσες στήλες αντιστρέφονται και 5 σειρές, τοποθετήστε τον τύπο στο πρώτο κελί και CTRL + ENTER.
Λαμβάνουμε τους συντελεστές της παλινδρόμησης:
Σε αυτήν την περίπτωση, το σημάδι του παλινδρόμου είναι θετικό. Έτσι, αύξηση της τιμής κατά 1% κάρτες σκι την προηγούμενη σεζόν (t-1), μεταφράστηκε σε αύξηση 0,53% στην τιμή του κάρτες σκι για αυτή τη σεζόν (t). Οι τιμές σε παρένθεση κάτω από τους συντελεστές είναι τα τυπικά σφάλματα των εκτιμήσεων.
Αντικαθιστούμε:
κάρτες σκιτ= κάρτες σκι2019
κάρτες σκιt-1= κάρτες σκι2018= 4.2195 (αριθμός με έντονους χαρακτήρες στον παραπάνω πίνακα).
Επειτα,
| Ετος | Περνά σκι (€) | Ετος | Περνά σκι (€) |
| 1995 | 32 | 2007 | 88 |
| 1996 | 44 | 2008 | 40 |
| 1997 | 50 | 2009 | 68 |
| 1998 | 55 | 2010 | 63 |
| 1999 | 40 | 2011 | 69 |
| 2000 | 32 | 2012 | 72 |
| 2001 | 34 | 2013 | 75 |
| 2002 | 60 | 2014 | 71 |
| 2003 | 63 | 2015 | 73 |
| 2004 | 64 | 2016 | 63 |
| 2005 | 78 | 2017 | 67 |
| 2006 | 80 | 2018 | 68 |
| 2019 | 65 |