Ο λόγος, στον τομέα των μαθηματικών, είναι η σχέση μεταξύ δύο ποσοτήτων, που μπορεί να είναι η διαφορά τους ή το πηλίκο τους.
Δηλαδή, η αναλογία είναι η αφαίρεση ή διαίρεση μεταξύ δύο ποσοτήτων, έτσι ώστε να μπορεί να γίνει σύγκριση μεταξύ τους.
Εάν ο λόγος υπολογίζεται με αφαίρεση, είναι αριθμητικός λόγος, ενώ εάν είναι πηλίκος είναι γεωμετρικός λόγος. Παρακάτω θα αναφέρουμε και τις δύο περιπτώσεις.
Αριθμητική αναλογία
Ο αριθμητικός λόγος είναι η διαφορά ή αφαίρεση μεταξύ δύο ποσοτήτων. Από αυτόν τον λόγο, μπορεί να οριστεί μια αριθμητική εξέλιξη, δηλαδή αυτή η ακολουθία όπου δύο διαδοχικοί όροι έχουν πάντα την ίδια διαφορά μεταξύ τους.
Δώστε ένα παράδειγμα, το παρακάτω είναι μια αριθμητική εξέλιξη:
5, 16, 27, 38, 49, 60
Στην προηγούμενη εξέλιξη, η αναλογία είναι 11:
16-5=27-16=38-27=49-38=60-49=11
Η γενική έκφραση για αυτόν τον τύπο εξέλιξης έχει ως εξής, όπου xν είναι ο ένατος όρος, όπου x1 ο πρώτος όρος, και d είναι η σταθερή διαφορά μεταξύ των διαδοχικών αριθμών του.
Χν= x1+ d (n-1)
Επιστρέφοντας στο παραπάνω παράδειγμα, ο τρίτος όρος θα υπολογιστεί ως εξής:
Χ3=5+11(3-1)=5+(11×2)=5+22=27
Γεωμετρική αναλογία
Ο γεωμετρικός λόγος είναι αυτός όπου δύο αριθμοί συνδέονται με πηλίκο και αυτό μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα.
Αυτός ο τύπος λόγου δημιουργεί τη γεωμετρική πρόοδο, η οποία είναι μια διαδοχή αριθμών όπου ένα σχήμα είναι ίσο με το προηγούμενο πολλαπλασιαζόμενο με μια σταθερά που είναι ο γεωμετρικός λόγος ή ο παράγοντας εξέλιξης. Ένα παράδειγμα μπορεί να είναι το ακόλουθο:
6, 24, 96, 384, 1536
Στην παραπάνω περίπτωση, ο συντελεστής εξέλιξης θα είναι 4, μπορώ να τον υπολογίσω διαιρώντας οποιονδήποτε από τους αριθμούς στην ακολουθία με αυτόν αμέσως πριν από αυτόν. Έτσι, συνειδητοποιούμε ότι ο λόγος επαναλαμβάνεται:
24/6=96/24=384/96=1536/384=4
Η γεωμετρική εξέλιξη έχει τον ακόλουθο γενικό τύπο:
Χν= x1 . ρν-1
Στον παραπάνω τύπο, xν είναι ο ένατος όρος της ακολουθίας, όπου x1 ο πρώτος όρος, και το r είναι η σταθερή αναλογία στην ακολουθία. Για παράδειγμα, στην παραπάνω περίπτωση, μπορούμε να βρούμε τον τέταρτο όρο ως εξής:
Χ4=6.44-1=6.43=6.64=384
Άλλοι τύποι λόγων
Άλλοι τύποι λόγων είναι οι εξής:
- Απλός λόγος: Η απλή αναλογία τριών αριθμών είναι η διαίρεση των διαφορών μεταξύ του πρώτου και καθενός από τους άλλους δύο αριθμούς. Έτσι, η απλή αναλογία a, b και c θα ήταν:
(α-β) / (α-γ)
- Διπλός λόγος: Η διπλή αναλογία τεσσάρων αριθμών a, b, c και d υπολογίζεται ως το πηλίκο της απλής αναλογίας a, c, και d με την απλή αναλογία b, c, και d.
(a-c) / (a-d) / (b-c) / (b-d)