Κώνος (γεωμετρία) - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Ο κώνος είναι ένα τρισδιάστατο γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από περιστροφή ενός δεξιού τριγώνου γύρω από ένα από τα πόδια του.

Στη συνέχεια, ο κώνος είναι ένα γεωμετρικό σώμα με κυκλική βάση που συνδέεται με ένα εξωτερικό σημείο που ονομάζεται κορυφή.

Πρέπει να σημειωθεί ότι ο κώνος είναι ένα σώμα επανάστασης. Δηλαδή, μπορείτε να το αποκτήσετε περιστρέφοντας μια φιγούρα ή μια επίπεδη επιφάνεια γύρω από έναν άξονα. Αυτοί οι τύποι σχημάτων διακρίνονται από το ότι δεν έχουν επίπεδες επιφάνειες, όπως ένα πολύγωνο, αλλά μια καμπύλη επιφάνεια. Μερικά άλλα παραδείγματα είναι ο κύλινδρος και η σφαίρα.

Θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι σε αυτό το άρθρο θα αναλύσουμε λεπτομερώς τα χαρακτηριστικά του κώνου, εκείνου όπου η κορυφή είναι κάθετη προς τη βάση (σχηματίζοντας μια ορθή γωνία ή 90º). Ωστόσο, υπάρχουν πλάγιοι κώνοι, εκείνοι όπου δεν πληρούται αυτή η συνθήκη και η εικόνα είναι κεκλιμένη.

Στοιχεία κώνου

Τα στοιχεία ενός κώνου, που μας καθοδηγούν από το παρακάτω σχήμα, είναι τα εξής:

• Αξονας: Είναι η φανταστική γραμμή στην οποία βρίσκεται το πόδι γύρω από την οποία περιστρέφεται το δεξί τρίγωνο που σχηματίζει τον κώνο.
• Βάση: Είναι ο κύκλος στον οποίο σχηματίζεται το σώμα του κώνου. Η ακτίνα του (r) είναι τμήμα AC.
• Διευθυντικός: Είναι η περίμετρος της βάσης του κώνου.
• Generatrix (τμήμα BC μήκους L): Είναι η γραμμή που ενώνει την κορυφή με οποιοδήποτε σημείο στο directrix. Δηλαδή, κάθε τμήμα που ενώνει την κορυφή με το περίγραμμα της βάσης. Επίσης, περιστρέφεται η υπόταση του δεξιού τριγώνου για να σχηματίσει τον κώνο.
• Κωνική κορυφή (σημείο Β): Το εξωτερικό σημείο είναι το directrix όπου συμπίπτουν όλες οι γενικές γραμμές του σχήματος. Είναι η κορυφή του γεωμετρικού σώματος.
• Ύψος (τμήμα ΑΒ μήκους h): Είναι το κάθετο τμήμα που ενώνει την κορυφή και τη βάση. Συμπίπτει με το πόδι γύρω από το οποίο περιστρέφεται το τρίγωνο για τη δημιουργία του κώνου.

Περιοχή κώνου και όγκος

Για να κατανοήσουμε καλύτερα τα χαρακτηριστικά ενός κώνου, μπορούμε να υπολογίσουμε τις ακόλουθες μετρήσεις:

• Περιοχή: Για να βρούμε την περιοχή του κώνου πρέπει να προσθέσουμε την περιοχή της βάσης (Α_σι) συν την περιοχή σώματος του σχήματος ή την πλευρική περιοχή (Α_μεγάλο)

Η περιοχή της βάσης υπολογίζεται όπως εξηγείται στο άρθρο σχετικά με την περιφέρεια, πολλαπλασιάζοντας το π με την ακτίνα της περιφέρειας.

Παρομοίως, η πλευρική περιοχή υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας π με την ακτίνα της βάσης και με το μήκος της γεννήτριας (L).

Έτσι, μπορούμε να βρούμε τη συνολική έκταση του σχήματος:

Πρέπει επίσης να λάβουμε υπόψη ότι το generatrix είναι η υπόταση του σωστού τριγώνου που σχηματίζει μαζί με την ακτίνα της βάσης και το ύψος του κώνου, με τα δύο τελευταία να είναι τα πόδια. Επομένως, το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να εφαρμοστεί:

• Ενταση ΗΧΟΥ: Ο όγκος του κώνου υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας το 1/3 με την ακτίνα της βάσης τετράγωνο, με π, και με το ύψος του κώνου.

Παράδειγμα κώνου

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν κώνο του οποίου η βάση έχει ακτίνα 12 μέτρων και το ύψος του σχήματος είναι 14 μέτρα. Ποια είναι η περιοχή και ο όγκος του κώνου;

Αρχικά, επιλύουμε το μήκος του generatrix (L), εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα όπως εξηγείται παραπάνω:

Στη συνέχεια συνδέουμε το L στον τύπο περιοχής για να βρούμε την περιοχή του κώνου:

Τέλος, βρίσκουμε τον τόμο: