Η σειρά Taylor είναι μια σειρά δυνάμεων που εκτείνεται στο άπειρο, όπου κάθε ένα από τα πρόσθετα αυξάνεται σε μια δύναμη μεγαλύτερη από την προηγούμενη.
Κάθε στοιχείο της σειράς Taylor αντιστοιχεί στο ένατο παράγωγο της συνάρτησης f που αξιολογείται στο σημείο a, μεταξύ του παραγοντικού του n (n!), Και όλα αυτά, πολλαπλασιασμένα επί x-a ανυψωμένα στην ισχύ n.
Σε τυπικούς ή μαθηματικούς όρους, η σειρά Taylor έχει την ακόλουθη μορφή:
Για να κατανοήσουμε καλύτερα τη σειρά Taylor, πρέπει να έχουμε κατά νου ότι το a είναι ένα σημείο σε μια γραμμή εφαπτομένη στη συνάρτηση f. Η εν λόγω γραμμή μπορεί, με τη σειρά της, να εκφραστεί ως γραμμική συνάρτηση της οποίας η κλίση είναι η ίδια κλίση με τη συνάρτηση f στο σημείο α.
Μια άλλη πτυχή που πρέπει να θυμάστε είναι ότι το f είναι μια διαφοροποιημένη συνάρτηση n φορές στο σημείο α. Εάν το n είναι άπειρο, είναι μια απεριόριστα διαφοροποιημένη λειτουργία.
Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, όταν a = 0, η σειρά ονομάζεται επίσης σειρά McLaurin.
Διαφορά μεταξύ σειράς και Taylor πολυώνυμο
Η διαφορά μεταξύ σειράς και πολυώνυμου Taylor είναι ότι, στην πρώτη περίπτωση, μιλάμε για μια άπειρη ακολουθία, ενώ στη δεύτερη είναι μια πεπερασμένη σειρά.
Έτσι, το πολυώνυμο Taylor μπορεί να οριστεί ως μια πολυώνυμη προσέγγιση μιας συνάρτησης και φορές διαφορετική σε ένα συγκεκριμένο σημείο (α).
Παραδείγματα σειράς Taylor
Μερικά παραδείγματα παραλλαγών της σειράς Taylor είναι:
- Εκθετικη συναρτηση:
- Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:
Εφαρμογές σειράς Taylor
Ορισμένες εφαρμογές της σειράς Taylor είναι:
- Ανάλυση ορίων.
- Ανάλυση στατικών σημείων ή σημείων καρέκλας σε συναρτήσεις.
- Εφαρμογή στο θεώρημα του L'Hopital (για επίλυση ορίων).
- Ολοκληρωμένη εκτίμηση.
- Εκτίμηση συγκλίσεων και αποκλίσεων ορισμένων σειρών.
- Ανάλυση χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων και προϊόντων, όταν η τιμή εκφράζεται ως μη γραμμική συνάρτηση.