Η κυρτότητα ενός ομολόγου είναι η κλίση της καμπύλης που σχετίζεται με την τιμή και την κερδοφορία. Μετρά την αλλαγή στη διάρκεια του ομολόγου ως αποτέλεσμα μιας αλλαγής στην κερδοφορία.
Μαθηματικά εκφράζεται ως το δεύτερο παράγωγο της καμπύλης τιμής-κερδοφορίας. Ο τύπος έχει ως εξής:
Η διακύμανση της τιμής ενός ομολόγου σε περίπτωση αλλαγών στα επιτόκια είναι το άθροισμα της διακύμανσης που προκαλείται από την τροποποιημένη διάρκεια και της διακύμανσης που προκαλείται από την κυρτότητα του ομολόγου.
Εάν η κυρτότητα ενός ομολόγου είναι ίση με 100, η τιμή του ομολόγου θα αλλάξει ένα επιπλέον 1% για κάθε 1% αλλαγή στα επιτόκια, επιπλέον εκείνου που υπολογίζεται από τη διάρκεια. Εάν η κυρτότητα ενός ομολόγου είναι ίση με το μηδέν, η τιμή του ομολόγου θα ποικίλλει ανάλογα με τις μεταβολές στα επιτόκια από το ποσό που καθορίζεται από τη διάρκεια του ομολόγου.
Σχέση κυρτότητας ενός δεσμού και διάρκεια ενός δεσμού
Η κυρτότητα ενός ομολόγου μας προσφέρει ένα πολύ πιο ακριβές μέτρο των αλλαγών απόδοσης τιμής ενός ομολόγου. Η διάρκεια ενός ομολόγου προϋποθέτει ότι η σχέση μεταξύ τιμής και απόδοσης είναι σταθερή. Ωστόσο, η πραγματικότητα είναι πολύ διαφορετική. Ως εκ τούτου, ενόψει μικρών διακυμάνσεων τιμής-κερδοφορίας, η διάρκεια είναι αποδεκτό μέτρο. Αλλά για μεγαλύτερες παραλλαγές ο υπολογισμός της κυρτότητας καθίσταται απαραίτητος.
Είστε έτοιμοι να επενδύσετε στις αγορές;
Ένας από τους μεγαλύτερους μεσίτες στον κόσμο, το eToro, έκανε τις επενδύσεις στις χρηματοπιστωτικές αγορές πιο προσιτές. Τώρα οποιοσδήποτε μπορεί να επενδύσει σε μετοχές ή να αγοράσει κλάσματα μετοχών με προμήθειες 0%. Ξεκινήστε να επενδύετε τώρα με κατάθεση μόλις 200 $. Να θυμάστε ότι είναι σημαντικό να εκπαιδεύεστε για επενδύσεις, αλλά φυσικά σήμερα όλοι μπορούν να το κάνουν.
Το κεφάλαιό σας κινδυνεύει. Ενδέχεται να ισχύουν άλλες χρεώσεις. Για περισσότερες πληροφορίες, επισκεφτείτε το stocks.eToro.com
Θέλω να επενδύσω με τον EtoroΜαθηματικά μπορεί να φαίνεται σαν ένας αφηρημένος όρος. Δεδομένου ότι είναι γραφικά πολύ πιο κατανοητό, ας το δούμε να αντιπροσωπεύεται. Στα ακόλουθα δύο γραφήματα που βλέπουμε αντιπροσωπεύουν τόσο τη διάρκεια όσο και την κυρτότητα.
Όσο χαμηλότερη είναι η απόδοση του ομολόγου, τόσο υψηλότερη είναι η τιμή του. Και το αντίστροφο, όσο υψηλότερη είναι η κερδοφορία του ομολόγου, τόσο χαμηλότερη είναι η τιμή του. Φυσικά, η τιμή δεν αλλάζει στην ίδια αναλογία εάν η κερδοφορία της αλλάξει από 10 σε 12% σαν να αλλάζει από 1 σε 2%. Αυτό λαμβάνει υπόψη η κυρτότητα. Η διάρκεια προϋποθέτει ότι η αλλαγή της τιμής είναι η ίδια κάθε φορά. Ενώ η κυρτότητα λαμβάνει υπόψη ότι η αλλαγή στην τιμή δεν είναι σταθερή. Η διαφορά μεταξύ της μπλε γραμμής και της πορτοκαλί γραμμής είναι η ίδια η κυρτότητα. Η πορτοκαλί γραμμή είναι η αλλαγή στην τιμή του ομολόγου λαμβάνοντας υπόψη τη διάρκεια. Τέλος, η μπλε γραμμή αντιπροσωπεύει τις αλλαγές στην τιμή του ομολόγου λαμβάνοντας υπόψη τη διάρκεια και την κυρτότητα.
Παράδειγμα κυρτότητας ενός δεσμού
Έχουμε ένα ομόλογο που λήγει σε 10 χρόνια. Το κουπόνι είναι 7% και το ομόλογο έχει ονομαστική αξία 100 ευρώ. Η αγορά IRR είναι 5%. Αυτό σημαίνει ότι τα ομόλογα με παρόμοια χαρακτηριστικά προσφέρουν απόδοση 5%. Ή τι είναι το ίδιο 2% λιγότερο. Η πληρωμή με κουπόνι είναι ετήσια.
Εάν η απόδοση του ομολόγου κυμαίνεται από 7% σε 5%, πόσο αλλάζει η τιμή του ομολόγου; Για να υπολογίσουμε τη διακύμανση που θα είχε η τιμή πριν από μια αλλαγή στο επιτόκιο, θα χρειαστούμε τους ακόλουθους τύπους:
Υπολογισμός τιμής ομολόγου:
Υπολογισμός της διάρκειας του μπόνους:
Υπολογισμός τροποποιημένης διάρκειας:
Υπολογισμός της κυρτότητας:
Υπολογισμός της διακύμανσης της διάρκειας:
Υπολογισμός της διακύμανσης της κυρτότητας:
Υπολογισμός της διακύμανσης στην τιμή του ομολόγου:
Πραγματοποιήστε λήψη του πίνακα excel για να δείτε όλους τους λεπτομερείς υπολογισμούς
Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους λαμβάνουμε τα ακόλουθα δεδομένα:
Τιμή Ομολόγου = 115,44
Διάρκεια = 7,71
Τροποποιημένη διάρκεια = 7.34
Κυρτότητα = 69,73
Η διακύμανση των τιμών έναντι της πτώσης 2% στην απόδοση του ομολόγου είναι + 14,68% λαμβάνοντας υπόψη τη διάρκεια. Η διακύμανση της τιμής του ομολόγου λαμβάνοντας υπόψη την κυρτότητα είναι + 1,39%. Για να λάβουμε τη συνολική διακύμανση της τιμής πρέπει να προσθέσουμε τις δύο παραλλαγές. Ο υπολογισμός δείχνει ότι, ενόψει πτώσης 2% σε αυτό το ομόλογο, η τιμή θα αυξηθεί κατά 16,07%.