Γραμμικός μετασχηματισμός πινάκων
Ο γραμμικός μετασχηματισμός πινάκων είναι γραμμικές πράξεις μέσω πινάκων που τροποποιούν την αρχική διάσταση ενός δεδομένου διανύσματος.
Με άλλα λόγια, μπορούμε να τροποποιήσουμε τη διάσταση ενός διανύσματος πολλαπλασιάζοντάς το με οποιονδήποτε πίνακα.
Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί είναι η βάση των διανυσμάτων και των ιδιοτιμών μιας μήτρας καθώς εξαρτώνται γραμμικά μεταξύ τους.
Προτεινόμενα άρθρα: λειτουργίες με πίνακες, διανύσματα και ιδιοτιμές.
Μαθηματικά
Ορίζουμε έναν πίνακαντο οποιαδήποτε διάσταση 3 × 2 πολλαπλασιαζόμενη με ένα διάνυσμα V της διάστασηςn = 2 έτσι ώστε V = (v1, v2).
Ποια διάσταση θα είναι το διάνυσμα αποτελεσμάτων;
Ο φορέας που προκύπτει από το προϊόν της μήτραςντο3×2με διάνυσμαΒ2×1θα είναι ένα νέο διάνυσμα V της διάστασης 3.
Αυτή η αλλαγή στη διάσταση του φορέα οφείλεται στον γραμμικό μετασχηματισμό μέσω της μήτρας ντο.
Πρακτικό παράδειγμα
Δεδομένου του τετραγωνικού πίνακαΡ με διάσταση 2 × 2 και το διάνυσμαΒ της διάστασης 2.
Ένας γραμμικός μετασχηματισμός της διάστασης του διανύσματοςΒ είναι:
όπου η αρχική διάσταση του διανύσματος Β ήταν 2 × 1 και τώρα η τελική διάσταση του διανύσματος Βλέπεις3 × 1. Αυτή η αλλαγή στη διάσταση επιτυγχάνεται πολλαπλασιάζοντας τη μήτρα Ρ.
Μπορούν αυτοί οι γραμμικοί μετασχηματισμοί να αναπαρασταθούν γραφικά; Φυσικά!
Θα αντιπροσωπεύσουμε το διάνυσμα του αποτελέσματος V 'σε ένα επίπεδο.
Επειτα:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Γραφικά
Eigenvectors χρησιμοποιώντας γραφική αναπαράσταση
Πώς μπορούμε να προσδιορίσουμε ότι ένα διάνυσμα είναι ιδιοδιανύσματος ενός δεδομένου πίνακα μόνο κοιτάζοντας το γράφημα;
Ορίζουμε τον πίνακαρε διαστάσεων 2 × 2:
Είναι οι φορείς v1= (1,0) και v2= (2,4) ιδιοδιανύσματα της μήτρας ρε?
Επεξεργάζομαι, διαδικασία
1. Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο διάνυσμα v1. Κάνουμε τον προηγούμενο γραμμικό μετασχηματισμό:
Έτσι, εάν το διάνυσμα v1 είναι ιδιογενής φορέας της μήτρας ρε, το προκύπτον διάνυσμα v1«Και διάνυσμα v1πρέπει να ανήκουν στην ίδια γραμμή.
Αντιπροσωπεύουμε v1 = (1,0) και v1’ = (3,0).
Δεδομένου ότι και οι δύο v1ως V1«Ανήκει στην ίδια γραμμή, v1 είναι ιδιοδιανύσματα του πίνακα ρε.
Μαθηματικά, υπάρχει μια σταθεράη(ιδιοτιμή) έτσι ώστε:
2. Συνεχίζουμε με το δεύτερο διάνυσμα v2. Επαναλαμβάνουμε τον προηγούμενο γραμμικό μετασχηματισμό:
Έτσι, εάν το διάνυσμα v2 είναι ιδιογενής φορέας της μήτρας ρε, το προκύπτον διάνυσμα v2«Και ο φορέας v2 πρέπει να ανήκουν στην ίδια γραμμή (όπως το παραπάνω γράφημα).
Αντιπροσωπεύουμε v2 = (2,4) και v2’ = (2,24).
Από v2 και V2«Μην ανήκετε στην ίδια γραμμή, v2 δεν είναι ιδιογενής φορέας του πίνακα ρε.
Μαθηματικά, δεν υπάρχει σταθεράη(ιδιοτιμή) έτσι ώστε:
