Μια κοινή κατανομή είναι η πιθανότητα κατανομής της τομής των πραγματοποιήσεων οποιωνδήποτε δύο ή περισσότερων τυχαίων μεταβλητών.
Με άλλα λόγια, μια κοινή κατανομή είναι η κατανομή πιθανότητας που σχηματίζουν δύο ή περισσότερες τυχαίες μεταβλητές όταν πραγματοποιούνται ταυτόχρονα.
Εκπροσώπηση της κοινής διανομής
Όταν εμπλέκονται μόνο δύο τυχαίες μεταβλητές, ονομάζεται διμεταβλητή κατανομή, καθώς υπάρχουν δύο τυχαίες μεταβλητές. Σε περίπτωση που υπάρχουν περισσότερες μεταβλητές, θα ονομάζεται πολυπαραλλαγή.
Το μακρύ όνομα για κοινή διανομή είναι κοινή κατανομή πιθανότητας. Το όνομα συντομογραφείται αφού είναι ήδη γνωστό ότι αυτές οι κατανομές είναι πιθανότητες. Στα Αγγλικά ονομάζεται «κοινή διανομή».
Λαμβάνοντας υπόψη ότι υπάρχουν διακριτές τυχαίες μεταβλητές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, αυτή η διαφορά θα υπάρχει επίσης για κοινές κατανομές.
Κοινή κατανομή για διακριτές τυχαίες μεταβλητές
Αφήστε δύο διακριτές τυχαίες μεταβλητές να είναι X και W και οι πραγματοποιήσεις των X και W να είναι x και w. Τότε (X, W) θα έχει μια κοινή κατανομή από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης του (X, W).
Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης (fdpc)
Το fdpc μας δίνει την πιθανότητα ότι η πραγματοποίηση x και η πραγματοποίηση συμβαίνουν ταυτόχρονα. Για να μάθουμε την πιθανότητα να συμβεί αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την πιθανότητα του x να εξαρτάται από το w με την πιθανότητα να συμβεί x. Με άλλα λόγια, η πιθανότητα να συμβεί δεδομένο x και η πιθανότητα ότι εμφανίζεται x. Με αυτόν τον τρόπο θα αποκτήσουμε την πιθανότητα σύνδεσης των x και w.
Δεδομένου ότι έχουμε δύο μεταβλητές, μπορούμε να εκφράσουμε το pdf από την άποψη της τυχαίας μεταβλητής X ή από την άποψη της τυχαίας μεταβλητής W.
Εκπλήρωση:
Αυτός ο περιορισμός είναι ότι το άθροισμα των πιθανών αρθρώσεων πρέπει να δώσει 1, δεδομένου ότι είναι πιθανότητες και αυτοί είναι πάντα μεταξύ 0 και 1.
Κοινή κατανομή για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Αφήστε τα X και W να είναι δύο συνεχείς τυχαίες μεταβλητές και αφήστε τις πραγματοποιήσεις των X και W να είναι x και w. Τότε (X, W) θα έχει μια κοινή κατανομή από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας άρθρωσης του (X, W).
Λειτουργία πυκνότητας κοινής πιθανότητας (fdpc)
Η λογική για τη συνεχή θήκη είναι η ίδια με τη διακριτή περίπτωση.
Αυτές οι συναρτήσεις ονομάζονται συναρτήσεις οριακής πυκνότητας πιθανότητας. Η πρώτη για την τυχαία μεταβλητή X και η δεύτερη για την τυχαία μεταβλητή W.
Εκπληρώνοντας αυτό
Αυτός ο περιορισμός είναι ότι το άθροισμα των πιθανών αρθρώσεων πρέπει να δώσει 1, καθώς είναι πιθανότητες και αυτοί είναι πάντα μεταξύ 0 και 1.
Εφαρμογή
Στα οικονομικά, είναι πολύ κοινό για τα γεγονότα να περιλαμβάνουν περισσότερες από μία τυχαίες μεταβλητές, επομένως, προκύπτει η ανάγκη να αναλυθεί πώς αυτές οι μεταβλητές κατανέμονται στην ίδια κατανομή.