Το ορθόκεντρο είναι η τομή των τριών υψών ενός τριγώνου, το οποίο μπορεί να βρεθεί μέσα ή έξω από το σχήμα.
Πρέπει να θυμόμαστε ότι το ύψος ενός τριγώνου είναι το τμήμα που ξεκινά από κάθε κορυφή του τριγώνου και εκτείνεται προς την αντίθετη πλευρά του, σχηματίζοντας μια ορθή γωνία ή 90º. Δηλαδή, το ύψος και η αντίστοιχη πλευρά του είναι κάθετα.
Στο παραπάνω σχήμα, για παράδειγμα, το σημείο Ο είναι το ορθοκεντρικό της εικόνας, με τα ύψη του τριγώνου να είναι CF, BE και AD.
Ορθοκεντρικό σύμφωνα με τον τύπο του τριγώνου
Το ορθόκεντρο, ανάλογα με τον τύπο του εν λόγω τριγώνου, έχει διαφορετικά χαρακτηριστικά:
- Ορθογώνιο τρίγωνο: Το ορθόκεντρο ενός δεξιού τριγώνου συμπίπτει με την κορυφή που αντιστοιχεί στη σωστή γωνία. Στο παρακάτω σχήμα, για παράδειγμα, τα ύψη είναι BF και τα τμήματα τριγώνων AB και BC τα ίδια, με το ορθόκεντρο να είναι η κορυφή Β.
Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι τα ύψη AB και BC είναι τα πόδια, δηλαδή, οι πλευρές που σχηματίζουν τη σωστή γωνία, ενώ το AC είναι η υπόταση.
- Ασαφές τρίγωνο: Το ορθοκεντρικό είναι έξω από το τρίγωνο όταν είναι ασαφές, δηλαδή όταν μία από τις εσωτερικές γωνίες του σχήματος είναι μεγαλύτερη από 90º.
Στην παρακάτω εικόνα, για παράδειγμα, τα ύψη είναι AH, CI και FB, οπότε αναζητούμε το σημείο τομής των επεκτάσεών τους, το οποίο θα ήταν το σημείο O.
- Οξύ τρίγωνο: Το ορθοκεντρικό βρίσκεται μέσα στο σχήμα όταν το τρίγωνο είναι οξύ, δηλαδή όταν όλες οι εσωτερικές γωνίες του είναι οξείες ή μικρότερες από 90º (δείτε την πρώτη εικόνα αυτού του άρθρου).
Ορθογώνιο τρίγωνο
Το ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα του οποίου οι κορυφές είναι τα πόδια των τριών υψών του τριγώνου. Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, το ορθογώνιο τρίγωνο του τριγώνου ABC είναι το τρίγωνο FGH.
Είναι επίσης αλήθεια ότι το ορθοκεντρικό (σημείο Ι) του τριγώνου ABC είναι επίσης το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου (που περιέχεται) στο ορθικό τρίγωνο.
Πώς να βρείτε το ορθοκεντρικό τρίγωνο
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την εξίσωση των γραμμών που περιέχουν δύο από τα ύψη ενός τριγώνου που είναι τα εξής:
y = -137,7x-1941
y = 0,6x + 7
Πρέπει λοιπόν να βρούμε σε τι τιμές συμπίπτουν οι x και y και οι δύο γραμμές Αρχικά επιλύουμε το x εξισώνοντας τη δεξιά πλευρά κάθε εξίσωσης:
-137,7x-1941 = 0,6x + 7
-138.3x = 1948
x = -14.0853
Στη συνέχεια, επιλύουμε και σε μία από τις δύο εξισώσεις:
y = (0,6x-14,0853) +7
y = -8.4512 + 7 = -1.4512
Επομένως, οι συντεταγμένες του ορθοκεντρικού στο καρτεσιανό επίπεδο είναι (-14.0853, 1.4512)