Το κέντρο βάρους ενός τριγώνου είναι το σημείο όπου τέμνονται οι διάμεσοι της φιγούρας. Είναι επίσης γνωστό ως κεντροειδές.
Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ο διάμεσος είναι το τμήμα που ενώνει την κορυφή του τριγώνου με το μεσαίο σημείο της αντίθετης πλευράς του. Έτσι κάθε τρίγωνο έχει τρεις διάμεσους.
Για παράδειγμα, στο τρίγωνο παραπάνω, το κέντρο βάρους είναι το σημείο Ο, με τους μεσαίους να είναι τα τμήματα AF, BD και CE.
Μια σημαντική ιδιότητα του κέντρου βάρους είναι ότι η απόστασή του από κάθε κορυφή είναι διπλάσια από την αντίθετη πλευρά.
Για να το εξηγήσουμε καλύτερα, δύο μέρη μπορούν να διακριθούν σε κάθε διάμεσο:
- Η απόσταση από την κορυφή προς το κέντρο βάρους, που είναι 2/3 του μήκους της μέσης
- Το υπόλοιπο 1/3, που είναι η απόσταση από το κέντρο βάρους έως το μεσαίο σημείο της αντίθετης πλευράς.
Στην παραπάνω εικόνα, για παράδειγμα, είναι αλήθεια ότι:
Πώς να βρείτε το κέντρο βάρους ενός τριγώνου
Για να βρούμε το κέντρο βάρους του τριγώνου πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες των τριών κορυφών του τριγώνου, οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους αντιστοιχούν στον αριθμητικό του μέσο. Ας υποθέσουμε ότι οι κορυφές είναι:
Τότε, οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους, τις οποίες θα ονομάσουμε Ο, θα είναι:
Τώρα, είναι επίσης δυνατό να βρούμε το κέντρο βάρους εάν έχουμε τις εξισώσεις των γραμμών που περιέχουν τουλάχιστον δύο από τους διάμεσους.
Θυμηθείτε ότι στην αναλυτική γεωμετρία, μια γραμμή μπορεί να εκφραστεί ως αλγεβρική εξίσωση πρώτης τάξης ως:
y = xm + b
Στην εξίσωση που εμφανίζεται, το y είναι η συντεταγμένη στον άξονα τεταγμένης (κάθετη), x είναι η συντεταγμένη στον άξονα της τετμημένης (οριζόντια), το m είναι η κλίση (κλίση) που σχηματίζει τη γραμμή σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης, και το σημείο όπου η γραμμή τέμνει τον τεταγμένο άξονα.
Για να κατανοήσουμε καλύτερα τα παραπάνω, ας δούμε ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα κέντρου βάρους
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τρίγωνο του οποίου γνωρίζουμε δύο από τις κορυφές του:
A (0,4) και B (-2,1)
Τώρα, είναι περαιτέρω γνωστό ότι το μεσαίο σημείο της πλευρικής απέναντι κορυφής Α είναι (3,1) και το μεσαίο σημείο της απέναντι απέναντι κορυφής Β είναι (4, 2,5). Αξίζει να διευκρινιστεί ότι χρησιμοποιούμε το ερωτηματικό για να μην συγχέουμε με το κόμμα που διαχωρίζει τα δεκαδικά.
Αρχικά θα βρούμε την εξίσωση της γραμμής που περιέχει τη διάμεση τιμή που ξεκινά από την κορυφή Α, λαμβάνοντας υπόψη ότι η κλίση όταν περνά από το ένα σημείο στο άλλο πρέπει να είναι πάντα η ίδια. Η κλίση είναι η διακύμανση στον κατακόρυφο άξονα μεταξύ της παραλλαγής στον οριζόντιο άξονα:
Αυτό που κάναμε είναι να υποθέσουμε ότι η γραμμή διέρχεται από ένα σημείο (x1, y1), το οποίο είναι η κορυφή A (0, 4), και μέσω του σημείου (x2, y2) που είναι το μεσαίο σημείο της αντίθετης πλευράς του (3, 1).
Στη συνέχεια, κάνουμε το ίδιο με την κορυφή Β (-2,1) και το μεσαίο σημείο της αντίθετης πλευράς του (-4, -2,5):
Επόμενο βήμα, εξισώνουμε τη δεξιά πλευρά των δύο εξισώσεων που βρέθηκαν να λύσουν για την τιμή στον άξονα X όταν και οι δύο συμπίπτουν:
Στη συνέχεια επιλύουμε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις για να βρούμε την τιμή του y:
Επομένως, το κέντρο βάρους του τριγώνου είναι το σημείο (2,2) στο καρτεσιανό επίπεδο.
