Η κατανομή t ή η κατανομή t του μαθητή είναι ένα θεωρητικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την προσέγγιση της ροής πρώτης τάξης ενός κανονικά κατανεμημένου πληθυσμού όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό και η τυπική απόκλιση είναι άγνωστη.
Με άλλα λόγια, η κατανομή t είναι μια κατανομή πιθανότητας που υπολογίζει την τιμή του μέσου όρου ενός μικρού δείγματος που προέρχεται από έναν πληθυσμό που ακολουθεί μια κανονική κατανομή και για τον οποίο δεν γνωρίζουμε την τυπική απόκλιση.
Προτεινόμενα άρθρα: βαθμοί ελευθερίας, βαθμοί ελευθερίας (παράδειγμα) και κανονική κατανομή.
Ο τύπος διανομής t του μαθητή
Λαμβάνοντας υπόψη μια συνεχή τυχαία μεταβλητή L, λέμε ότι η συχνότητα των παρατηρήσεών της μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά με μια κατανομή t με g βαθμούς ελευθερίας έτσι ώστε:
Αναπαράσταση της διανομής του μαθητή
Συνάρτηση πυκνότητας κατανομής t με 3 βαθμούς ελευθερίας (df).
Όπως μπορούμε να δούμε, η αναπαράσταση της κατανομής t μοιάζει πολύ με την κανονική κατανομή εκτός από το ότι η κανονική κατανομή έχει ευρύτερες ουρές και είναι πιο ενισχυμένη. Με άλλα λόγια, θα πρέπει να προσθέσουμε περισσότερους βαθμούς ελευθερίας στην κατανομή t, έτσι ώστε η κατανομή «μεγαλώνει» και μοιάζει περισσότερο με την κανονική κατανομή.
Ειδικότητα
Και… Γιατί είναι τόσο ξεχωριστή η διανομή t;
Λοιπόν, επειδή σε αντίθεση με την κανονική κατανομή που εξαρτάται από το μέσο και τη διακύμανση, η κατανομή t εξαρτάται μόνο από τους βαθμούς ελευθερίας, από τα Αγγλικά, βαθμοί ελευθερίας (df). Με άλλα λόγια, ελέγχοντας τους βαθμούς ελευθερίας, ελέγχουμε τη διανομή.
Η εφαρμογή του μαθητή
Η κατανομή t χρησιμοποιείται όταν:
- Θέλουμε να εκτιμήσουμε τον μέσο όρο ενός κανονικά κατανεμημένου πληθυσμού από ένα μικρό δείγμα.
- Το μέγεθος του δείγματος είναι μικρότερο από 30 στοιχεία, δηλαδή n <30.
Από 30 παρατηρήσεις, η κατανομή t μοιάζει πολύ με την κανονική κατανομή, οπότε θα χρησιμοποιήσουμε την κανονική κατανομή.
- Η τυπική απόκλιση ενός πληθυσμού δεν είναι γνωστή και πρέπει να εκτιμηθεί από τις παρατηρήσεις του δείγματος.
Παράδειγμα
Υποθέτουμε ότι έχουμε 28 παρατηρήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής G που ακολουθεί την κατανομή t του Student με 27 βαθμούς ελευθερίας (df).
Μαθηματικά,
Δεδομένου ότι εργαζόμαστε με πραγματικά δεδομένα, θα υπάρχει πάντα ένα σφάλμα προσέγγισης μεταξύ των δεδομένων και της διανομής. Με άλλα λόγια, ο μέσος όρος, η μέση τιμή και η λειτουργία δεν θα είναι πάντα μηδέν (0) ή ακριβώς το ίδιο.
Αντιπροσωπεύουμε τη συχνότητα κάθε παρατήρησης της μεταβλητής G μέσω ενός ιστογράμματος.
Μπορεί η τυχαία μεταβλητή G να προσεγγίσει μια κατανομή t;
Λόγοι για να θεωρηθεί ότι η μεταβλητή G ακολουθεί μια κατανομή t:
- Η κατανομή είναι συμμετρική. Δηλαδή, υπάρχει ο ίδιος αριθμός παρατηρήσεων τόσο στα δεξιά όσο και στα αριστερά της κεντρικής τιμής. Επίσης, ότι ο μέσος και ο διάμεσος τείνουν να είναι κοντά στην ίδια τιμή. Ο μέσος όρος είναι περίπου μηδέν, μέσος όρος = 0,016.
- Οι παρατηρήσεις με τη μεγαλύτερη συχνότητα ή πιθανότητα είναι γύρω από την κεντρική τιμή. Οι παρατηρήσεις με λιγότερη συχνότητα ή πιθανότητα απέχουν πολύ από την κεντρική τιμή.