Ένα διάστημα εμπιστοσύνης είναι μια τεχνική εκτίμησης που χρησιμοποιείται σε στατιστικά συμπεράσματα που επιτρέπει τον περιορισμό ενός ζεύγους ή πολλών ζευγών τιμών, εντός των οποίων θα βρεθεί η επιθυμητή εκτίμηση σημείου (με συγκεκριμένη πιθανότητα)
Ένα διάστημα εμπιστοσύνης θα μας επιτρέψει να υπολογίσουμε δύο τιμές γύρω από ένα μέσο δείγμα (ένα άνω και ένα χαμηλότερο). Αυτές οι τιμές θα περιορίσουν ένα εύρος εντός του οποίου, με κάποια πιθανότητα, θα βρίσκεται η παράμετρος του πληθυσμού.
Διάστημα εμπιστοσύνης = μέσος όρος + - περιθώριο σφάλματος
Η γνώση του πραγματικού πληθυσμού, γενικά, είναι κάτι πολύ περίπλοκο. Σκεφτείτε έναν πληθυσμό 4 εκατομμυρίων ανθρώπων. Θα μπορούσαμε να γνωρίζουμε τη μέση κατανάλωση ανά νοικοκυριό αυτού του πληθυσμού; Κατ 'αρχήν ναι. Θα πρέπει απλώς να ερευνήσουμε όλα τα νοικοκυριά και να υπολογίσουμε τη μέση τιμή. Ωστόσο, η παρακολούθηση αυτής της διαδικασίας θα ήταν εξαιρετικά επίπονη και θα έκανε τη μελέτη αρκετά περίπλοκη.
Σε καταστάσεις όπως αυτή, είναι πιο εφικτό να επιλέξετε ένα στατιστικό δείγμα. Για παράδειγμα, 500 άτομα. Και στο εν λόγω δείγμα, υπολογίστε τη μέση τιμή. Αν και δεν γνωρίζουμε ακόμη την πραγματική τιμή του πληθυσμού, μπορούμε να υποθέσουμε ότι θα είναι κοντά στην τιμή δείγματος. Αυτό σημαίνει ότι προσθέτουμε το περιθώριο σφάλματος και έχουμε τιμή διαστήματος εμπιστοσύνης. Από την άλλη πλευρά, αφαιρούμε αυτό το περιθώριο σφάλματος από το μέσο όρο και θα έχουμε άλλη τιμή. Μεταξύ αυτών των δύο τιμών θα είναι ο μέσος πληθυσμός.
Συμπερασματικά, το διάστημα εμπιστοσύνης δεν χρησιμεύει για να δώσει μια εκτίμηση σημείου της παραμέτρου του πληθυσμού, εάν πρόκειται να μας βοηθήσει να πάρουμε μια κατά προσέγγιση ιδέα της οποίας θα μπορούσε να είναι η πραγματική. Μας επιτρέπει να περιορίσουμε μεταξύ δύο τιμών όπου θα βρεθεί ο μέσος πληθυσμός.
συντελεστής διακύμανσηςΑθροιστική συχνότηταΠαράγοντες από τους οποίους εξαρτάται το διάστημα εμπιστοσύνης
Ο υπολογισμός ενός διαστήματος εμπιστοσύνης εξαρτάται κυρίως από τους ακόλουθους παράγοντες:
- Επιλεγμένο μέγεθος δείγματος: Ανάλογα με την ποσότητα των δεδομένων που έχουν χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της τιμής δείγματος, θα είναι λίγο πολύ κοντά στην πραγματική παράμετρο πληθυσμού.
- Επίπεδο αυτοπεποίθησης: Θα μας ενημερώσει σε ποιο ποσοστό περιπτώσεων είναι σωστή η εκτίμησή μας. Τα συνήθη επίπεδα είναι 95% και 99%.
- Περιθώριο σφάλματος της εκτίμησής μας: Αυτό ονομάζεται άλφα και μας ενημερώνει για την πιθανότητα ότι η τιμή του πληθυσμού είναι εκτός του εύρους μας.
- Η εκτιμώμενη στο δείγμα (μέση, διακύμανση, διαφορά μέσων …): Το στατιστικό άξονα για τον υπολογισμό του διαστήματος εξαρτάται από αυτό.
Παράδειγμα διαστήματος εμπιστοσύνης για το μέσο όρο, υποθέτοντας την κανονικότητα και τη γνωστή τυπική απόκλιση
Το στατιστικό άξονα που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό θα είναι το ακόλουθο:
Το προκύπτον διάστημα θα ήταν το ακόλουθο:
Βλέπουμε πώς στο διάστημα αριστερά και δεξιά της ανισότητας έχουμε το κάτω και το ανώτερο όριο αντίστοιχα. Επομένως, η έκφραση μας λέει ότι η πιθανότητα ότι ο πληθυσμός σημαίνει ότι βρίσκεται μεταξύ αυτών των τιμών είναι 1-άλφα (επίπεδο εμπιστοσύνης).
Ας ρίξουμε μια καλύτερη ματιά στα παραπάνω με μια άσκηση να λυθεί ως παράδειγμα.
Θέλετε να υπολογίσετε τον μέσο χρόνο που χρειάζεται ένας δρομέας για να ολοκληρώσετε έναν μαραθώνιο. Για αυτό, 10 μαραθώνιοι έχουν χρονομετρηθεί και έχει ληφθεί κατά μέσο όρο 4 ώρες με τυπική απόκλιση 33 λεπτών (0,55 ώρες). Θέλετε να αποκτήσετε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95%.
Για να λάβουμε το διάστημα, θα πρέπει να αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μόνο στον τύπο διαστήματος.
Το διάστημα εμπιστοσύνης θα ήταν το μέρος της διανομής που έχει σκιάζεται με μπλε χρώμα. Οι 2 τιμές που ορίζονται από αυτό θα είναι αυτές που αντιστοιχούν στις 2 κόκκινες γραμμές. Η κεντρική γραμμή που χωρίζει την κατανομή σε 2 θα είναι η πραγματική τιμή του πληθυσμού.
Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι σε αυτήν την περίπτωση, δεδομένου ότι η συνάρτηση πυκνότητας της κατανομής N (0,1) μας δίνει τη σωρευτική πιθανότητα (από αριστερά έως την κρίσιμη τιμή), πρέπει να βρούμε την τιμή που μας αφήνει 0,975 το αριστερό% (αυτό είναι 1,96).