Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής X είναι ο αριθμός που εκφράζει τη μέση τιμή του φαινομένου που αντιπροσωπεύει αυτή η μεταβλητή.
Η μαθηματική προσδοκία, που ονομάζεται επίσης η αναμενόμενη τιμή, ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων ότι υπάρχει ένα τυχαίο συμβάν, πολλαπλασιαζόμενο με την τιμή του τυχαίου συμβάντος. Με άλλα λόγια, είναι η μέση τιμή ενός συνόλου δεδομένων. Αυτό, λαμβάνοντας υπόψη ότι ο όρος μαθηματική προσδοκία επινοείται από τη θεωρία της πιθανότητας.
Ενώ στα μαθηματικά, η μέση τιμή ενός συμβάντος έχει συμβεί ονομάζεται μαθηματικός μέσος όρος. Σε διακριτές κατανομές με την ίδια πιθανότητα σε κάθε συμβάν, ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ο ίδιος με τη μαθηματική προσδοκία.
Παράδειγμα μαθηματικής προσδοκίας
Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα για να το καταλάβουμε.
Ας φανταστούμε ένα νόμισμα. Δύο κεφάλια, κεφάλια και ουρές. Ποια θα ήταν η μαθηματική προσδοκία (αναμενόμενη τιμή) που θα βγει στο μυαλό;
Η μαθηματική προσδοκία θα υπολογιζόταν ως η πιθανότητα ότι, με το γύρισμα του νομίσματος πολλές φορές, θα εμφανιστεί.
Δεδομένου ότι το νόμισμα μπορεί να προσγειωθεί μόνο σε μία από αυτές τις δύο θέσεις και και οι δύο έχουν την ίδια πιθανότητα να βγουν, θα πούμε ότι η μαθηματική προσδοκία ότι θα βγει κεφάλια είναι μία από τις δύο, ή τι είναι το ίδιο, το 50% των η ώρα.
Θα κάνουμε ένα τεστ και θα ρίξουμε ένα κέρμα 10 φορές. Ας υποθέσουμε ότι το νόμισμα είναι τέλειο.
Περιστροφές και αποτέλεσμα:
- Ακριβός.
- Σταυρός.
- Σταυρός.
- Ακριβός.
- Σταυρός.
- Ακριβός.
- Ακριβός.
- Ακριβός.
- Σταυρός.
- Σταυρός.
Πόσες φορές ήταν κεφάλια (μετράμε τα C); 5 φορές Πόσες φορές βγήκαν οι ουρές (μετράμε τα X); 5 φορές. Η πιθανότητα να είναι κεφάλια θα είναι 5/10 = 0,5 ή, ως ποσοστό, 50%.
Μόλις συμβεί αυτό, μπορούμε να υπολογίσουμε τον μαθηματικό μέσο όρο του αριθμού των φορών που συνέβη κάθε συμβάν. Η ακριβή πλευρά βγήκε μία στις δύο φορές, δηλαδή στο 50% του χρόνου. Ο μέσος όρος ταιριάζει με τη μαθηματική προσδοκία.
Υπολογισμός της μαθηματικής προσδοκίας
Η μαθηματική προσδοκία υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την πιθανότητα κάθε συμβάντος. Ο τύπος που επισημοποιεί αυτόν τον υπολογισμό αναφέρεται ως εξής:
Οπου:
- Χ = τιμή συμβάντος.
- Π = Πιθανότητα να συμβεί.
- Εγώ = Περίοδος κατά την οποία συμβαίνει αυτό το συμβάν.
- Ν = Συνολικός αριθμός περιόδων ή παρατηρήσεων.
Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν δεν είναι πάντα η ίδια, όπως με τα νομίσματα. Υπάρχουν αμέτρητες περιπτώσεις στις οποίες ένα συμβάν είναι πιο πιθανό να βγει από ένα άλλο. Γι 'αυτό χρησιμοποιούμε το P. Στον τύπο, πρέπει επίσης να πολλαπλασιάσουμε με την τιμή του συμβάντος κατά τον υπολογισμό των μαθηματικών αριθμών. Παρακάτω βλέπουμε ένα παράδειγμα.
Σε τι χρησιμοποιείται η μαθηματική προσδοκία;
Η μαθηματική προσδοκία χρησιμοποιείται σε όλους αυτούς τους κλάδους στους οποίους η παρουσία πιθανών γεγονότων είναι εγγενής σε αυτά. Πειθαρχίες όπως θεωρητικές στατιστικές, κβαντική φυσική, οικονομετρία, βιολογία ή χρηματοοικονομικές αγορές. Ένας μεγάλος αριθμός διαδικασιών και γεγονότων που συμβαίνουν στον κόσμο είναι ανακριβείς. Ένα σαφές και κατανοητό παράδειγμα είναι αυτό του χρηματιστηρίου.
Στο χρηματιστήριο, όλα υπολογίζονται με βάση τις αναμενόμενες τιμές. Γιατί οι αναμενόμενες τιμές; Επειδή ελπίζουμε ότι θα συμβεί, αλλά δεν μπορούμε να το επιβεβαιώσουμε. Όλα βασίζονται σε πιθανότητες και όχι σε βεβαιότητες. Εάν η αναμενόμενη τιμή ή η μαθηματική προσδοκία της απόδοσης ενός περιουσιακού στοιχείου είναι 10% ετησίως, αυτό σημαίνει ότι, με βάση τις πληροφορίες που έχουμε από το παρελθόν, είναι πολύ πιθανό ότι η απόδοση θα είναι ξανά 10%. Εάν λάβουμε υπόψη, φυσικά, τη μαθηματική προσδοκία ως μέθοδο για τη λήψη των επενδυτικών μας αποφάσεων.
Μέσα στις θεωρίες χρηματοοικονομικής αγοράς, πολλοί χρησιμοποιούν αυτήν την έννοια της μαθηματικής προσδοκίας. Μεταξύ αυτών των θεωριών είναι αυτή που ανέπτυξε ο Markowitz σε αποδοτικά πορτοφόλια.
Σε αριθμούς, απλοποιώντας πολλά, ας υποθέσουμε ότι οι αποδόσεις ενός χρηματοοικονομικού περιουσιακού στοιχείου είναι οι εξής:
Κερδοφορία στα έτη 1, 2, 3 και 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Η αναμενόμενη τιμή θα είναι το άθροισμα των αποδόσεων πολλαπλασιαζόμενο με την πιθανότητα να συμβούν. Η πιθανότητα ότι "συμβαίνει" κάθε κερδοφορία είναι 0,25. Έχουμε τέσσερις παρατηρήσεις, τέσσερα χρόνια. Κάθε χρόνο έχουν την ίδια πιθανότητα να επαναληφθούν.
Ελπίδα = (12 x 0.25) + (6 x 0.25) + (15 x 0.25) + (12 x 0.25) = 3 + 1.5 + 3.75 + 3 = 11.25%
Λαμβάνοντας υπόψη αυτές τις πληροφορίες, θα πούμε ότι η προσδοκία για την απόδοση του περιουσιακού στοιχείου είναι 11,25%.
Προσδόκιμο ζωής