Σημείο καμπής - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Το σημείο καμπής μιας μαθηματικής συνάρτησης είναι το σημείο στο οποίο το γράφημα που το αντιπροσωπεύει αλλάζει την κοιλότητά του. Δηλαδή, πηγαίνει από το κοίλο στο κυρτό, ή το αντίστροφο.

Το σημείο καμπής, με άλλα λόγια, είναι εκείνη η στιγμή που η συνάρτηση αλλάζει τάση.

Για να πάρετε μια ιδέα, ας αρχίσουμε κοιτάζοντας σε μια γραφική παράσταση, περίπου:

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι μια συνάρτηση μπορεί να έχει περισσότερα από ένα σημεία καμπής, ή καθόλου. Για παράδειγμα, μια γραμμή δεν έχει σημείο καμπής.

Ας δούμε, στο παρακάτω γράφημα, ένα παράδειγμα συνάρτησης με περισσότερα από ένα σημεία καμπής:

Επίσης, σε μαθηματικούς όρους, το σημείο καμπής υπολογίζεται ρυθμίζοντας το δεύτερο παράγωγο της συνάρτησης ίσο με το μηδέν. Έτσι, επιλύουμε τη ρίζα (ή τις ρίζες) αυτής της εξίσωσης και θα την ονομάσουμε Xi.

Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε το Xi στο τρίτο παράγωγο της συνάρτησης. Εάν το αποτέλεσμα είναι διαφορετικό από το μηδέν, αντιμετωπίζουμε ένα σημείο καμπής.

Ωστόσο, εάν το αποτέλεσμα είναι μηδέν, πρέπει να αντικαταστήσουμε τα διαδοχικά παράγωγα, έως ότου η αξία αυτού του παραγώγου, είτε του τρίτου, του τέταρτου ή του πέμπτου, να διαφέρει από το 0. Εάν το παράγωγο είναι περίεργο, είναι ένα σημείο καμπής, αλλά αν είναι ακόμη και όχι.

Παράδειγμα καμπής

Στη συνέχεια, ας δούμε ένα παράδειγμα.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την ακόλουθη λειτουργία:

y = 2χ⁴+ 5χ³+ 9x + 14

y »= 8χ³+ 15χ²+9

y »= 24x²+ 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Στη συνέχεια αντικαθιστούμε το Xi στο τρίτο παράγωγο:

y »» = 48x

y »» = 48x-1,25 = -60

Καθώς το αποτέλεσμα είναι διαφορετικό από το μηδέν, βρισκόμαστε μπροστά από ένα σημείο καμπής που θα ήταν όταν το x είναι ίσο με -1,25 και το y είναι ίσο με -2,1328, όπως φαίνεται στο παρακάτω γράφημα.

Σε αυτό παρατηρείται ότι η συνάρτηση έχει ένα σημείο καμπής:

Τώρα, ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα:

y = x⁴-54χ²

y »= 4x³-108χ

y »= 12x²-108=0

Χ²=9

Xi = 3 και -3

Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε τις δύο ρίζες που βρίσκονται στο τρίτο παράγωγο:

y »» = 24x

y »» = 24 × 3 = 72

y »» = 24x-3 = -72

Δεδομένου ότι το αποτέλεσμα είναι μη μηδέν, έχουμε δύο σημεία καμπής στα (3.567) και (-3.567).

Για να συμπληρώσετε τις πληροφορίες, σας προσκαλούμε να επισκεφθείτε το άρθρο καμπής, όπου καλύπτουμε αυτήν την ιδέα με έναν πιο γενικό τρόπο: