Μια εκ των υστέρων πιθανότητα - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Η οπίσθια πιθανότητα είναι αυτή που υπολογίζεται βάσει δεδομένων που είναι ήδη γνωστά μετά από μια διαδικασία ή ένα πείραμα.

Η οπίσθια πιθανότητα είναι λοιπόν αυτή που δεν εκτιμάται με βάση εικασίες ή κάποιες προηγούμενες γνώσεις σχετικά με την κατανομή μιας πιθανότητας, όπως στην προηγούμενη πιθανότητα.

Για να το καταλάβουμε καλύτερα, ας δούμε ένα παράδειγμα.

Ας υποθέσουμε ότι μια εταιρεία αναπτύσσει ένα νέο προϊόν περιποίησης, για παράδειγμα ένα σαμπουάν. Έτσι, η εταιρεία αξιολογεί μια ομάδα εθελοντών για να δει εάν κάποιο ποσοστό από αυτούς αναπτύσσει πιτυρίδα μετά τη χρήση του προϊόντος.

Έτσι, για παράδειγμα, αποκτάται ότι η οπίσθια πιθανότητα ότι ένας ενήλικος άνδρας θα αναπτύξει πιτυρίδα όταν δοκιμάζει αυτό το νέο προϊόν είναι 2%.

Αντ 'αυτού, ένα παράδειγμα της a priori πιθανότητας εμφανίζεται όταν, πριν από την κύλιση, υποθέτουμε ότι υπάρχει η ίδια πιθανότητα με οποιονδήποτε από τους έξι αριθμούς να κυλήσει ως αποτέλεσμα, δηλαδή 1/6.

Μια εκ των υστέρων πιθανότητα και το θεώρημα του Bayes

Για την επίλυση ασκήσεων με οπίσθιες πιθανότητες, συνήθως καταφεύγουμε στο θεώρημα του Bayes, του οποίου ο τύπος είναι ο ακόλουθος:

Στον παραπάνω τύπο, το Β είναι το συμβάν για το οποίο έχουμε πληροφορίες και το Α (η) είναι τα διάφορα συμβάντα υπό όρους. Δηλαδή, στον αριθμητή έχουμε την υπό όρους πιθανότητα, δηλαδή την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν Β, δεδομένου ότι έχει λάβει χώρα ένα άλλο συμβάν Α_ν. Ενώ στον παρονομαστή παρατηρούμε το άθροισμα των ρυθμισμένων συμβάντων, που θα ισοδυναμούσαν με τη συνολική πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Β, υποθέτοντας ότι κανένα από τα πιθανά συμβαλλόμενα γεγονότα δεν παραλείπεται.

Καλύτερα, ας δούμε, στην επόμενη ενότητα, ένα παράδειγμα έτσι ώστε να είναι καλύτερα κατανοητό.

Παράδειγμα εκ των υστέρων πιθανότητας

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 4 αίθουσες διδασκαλίας που έχουν αξιολογηθεί με την ίδια εξέταση.

Στην πρώτη ομάδα ή τάξη, την οποία ονομάσαμε Α, το 60% των μαθητών πέρασε την αξιολόγηση, ενώ στις υπόλοιπες αίθουσες, τις οποίες θα ονομάσουμε Β, Γ και Δ, το ποσοστό επιτυχίας ήταν 50%, 56% και 64%, αντίστοιχα. Αυτές θα ήταν μεταγενέστερες πιθανότητες.

Ένα άλλο γεγονός που πρέπει να ληφθεί υπόψη είναι ότι οι τάξεις Α και Β έχουν 30 μαθητές, ενώ οι τάξεις Γ και Δ έχουν 25 η καθεμία. Αν λοιπόν επιλέξουμε, μεταξύ των εξετάσεων και των τεσσάρων ομάδων, μια τυχαία αξιολόγηση και αποδειχθεί ότι έχει βαθμολογία επιτυχίας, ποια είναι η πιθανότητα να ανήκει στην τάξη Α;

Για τον υπολογισμό του, θα εφαρμόσουμε το θεώρημα του Bayes, όπου Α_ν το υπό όρους γεγονός ότι η εξέταση ανήκει σε μαθητή στην τάξη Α και Β το γεγονός ότι ο βαθμός περνά:

Ρ (Α_ν/ B) = (0,6 * 30/110) / ((0,6) * (30/110) + (0,5) * (30/110) + (0,56) * (25/110) + (0,64) * (25 / 110))

Ρ (Α_ν/ B) = 0,1636 / 0,5727 = 0,2857

Πρέπει να σημειωθεί ότι διαιρούμε τον αριθμό των μαθητών από την τάξη X με τον συνολικό αριθμό των μαθητών στις τέσσερις ομάδες για να ανακαλύψουμε την πιθανότητα ότι ο μαθητής είναι από την τάξη X.

Το αποτέλεσμα μας λέει ότι υπάρχει πιθανότητα περίπου 28,57% ότι, αν επιλέξουμε μια τυχαία εξέταση και έχει βαθμολογία επιτυχίας, θα είναι από την τάξη Α.