Το θεώρημα του Thales είναι ένας νόμος της γεωμετρίας που μας λέει ότι εάν μια γραμμή τραβηχτεί παράλληλα και στις δύο πλευρές ενός τριγώνου, θα έχουμε ένα τρίγωνο παρόμοιο με το αρχικό τρίγωνο.
Με άλλα λόγια, εάν κόψουμε ένα τρίγωνο σχεδιάζοντας μια γραμμή παράλληλη σε μία από τις πλευρές του, θα αποκτήσουμε ένα τρίγωνο παρόμοιο με το προηγούμενο.
Σε αυτό το σημείο, πρέπει να σημειωθεί ότι δύο τρίγωνα είναι παρόμοια όταν οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι σύμφωνες (μετρούν το ίδιο) και οι ομόλογες πλευρές τους είναι ανάλογες μεταξύ τους.
Για να το καταλάβουμε καλύτερα, ας δούμε την ακόλουθη εικόνα:
Από το θεώρημα του Thales μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι α = δ και β = ε
Επιπλέον, όπως αναφέραμε προηγουμένως, οι πλευρές είναι ανάλογες, οπότε είναι αλήθεια ότι:
Ένα ανέκδοτο που σχετίζεται με τον ιστορικό Πλούταρχο λέει ότι ο Θαλής της Μιλήτου, σε ένα από τα ταξίδια του, χρησιμοποίησε αυτό το θεώρημα για να γνωρίσει το ύψος των πυραμίδων της Γκίζας (εκείνων των Τσεοφών, του Καφρέ και του Μενκάουρε) στην Αίγυπτο. Έτσι, αποφάσισε να βάλει ένα ραβδί κάθετα στο έδαφος, περιμένοντας το μήκος του αντικειμένου να είναι ίσο με τη σκιά που έριξε. Εκείνη την εποχή, η σκιά της πυραμίδας θα ήταν επίσης ίση με το ύψος της. Σε αυτήν την περίπτωση, τα παρόμοια τρίγωνα είναι:
- Εκείνος του οποίου οι δύο πλευρές είναι η ράβδος και η σκιά της.
- Το τρίγωνο που έχει από τη μία πλευρά του το ύψος της πυραμίδας και, ως άλλη πλευρά, τη σκιά του.
Για να το καταλάβουμε καλύτερα, ας φανταστούμε στο παραπάνω σχήμα ότι η πυραμίδα είναι αυτή που σχηματίζεται από τις κορυφές D, E και F, το ύψος της είναι το τμήμα HE και η σκιά του, IE. Εν τω μεταξύ, η ράβδος είναι τμήμα ΑΒ και η σκιά της, CB. Επομένως, AB / CB = HE / IE. Αυτό, λαμβάνοντας υπόψη ότι οι ακτίνες του ήλιου είναι παράλληλες (δεν διασχίζουν ή παρατείνονται), οπότε θα σχηματίσουν την ίδια γωνία με τη ράβδο με την πυραμίδα (οι γωνίες α και β είναι ίσες).
Παράδειγμα θεωρήματος Thales
Για να κατανοήσουμε καλύτερα το θεώρημα του Thales, ας δούμε την ακόλουθη εικόνα:
Εάν το BC μετρά 7,3 μέτρα, το DE μετρά 3,6 μέτρα και το AB μετρά 6,2 μέτρα. Ποιο είναι το μήκος της AD;
Απομονούμε στον τύπο που παρουσιάστηκε προηγουμένως και έχουμε:
7.3 / 3.6 = 6.2 / AD
2,0278 = 6,2 / AD
AD = 3,0575 μέτρα
Επέκταση του θεωρήματος του Thales
Το θεώρημα του Thales μπορεί να επεκταθεί στην ανάλυση οποιωνδήποτε δύο γραμμών που κόβονται από άλλες γραμμές παράλληλες μεταξύ τους, όπως βλέπουμε στην ακόλουθη εικόνα:
Τότε, είναι αλήθεια ότι:
Αυτό ισχύει επειδή πρέπει να σκεφτούμε αυτές τις γραμμές ως μέρος ενός τριγώνου ή, για να το δούμε με άλλο τρόπο, εάν επεκτείνουμε τις γραμμές AB και CD, θα διασχίσουν. Το βλέπουμε καλύτερα στην ακόλουθη εικόνα:
Το δεύτερο θεώρημα του Thales
Υπάρχει επίσης ένα δεύτερο θεώρημα Thales σύμφωνα με το οποίο, εάν έχουμε ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από τη διάμετρο μιας περιφέρειας και δύο γραμμές το τέμνουν (κόβουν το σχήμα σε δύο σημεία), αυτή η γωνία που είναι απέναντι από τη διάμετρο είναι σωστή, δηλαδή , μέτρα 90º.
Πρέπει να θυμόμαστε ότι η διάμετρος είναι εκείνο το τμήμα που, διέρχεται από το κέντρο της περιφέρειας, ενώνει δύο αντίθετα σημεία του εν λόγω σχήματος.
Μπορούμε να δούμε τα παραπάνω καλύτερα στην ακόλουθη εικόνα:
Μπορούμε να ελέγξουμε αυτό το θεώρημα λαμβάνοντας υπόψη ότι τα AC, AD και AB μετρούν το ίδιο και είναι ίσο με την ακτίνα της περιφέρειας (η ακτίνα είναι οποιοδήποτε τμήμα που ενώνει ένα σημείο στην περιφέρεια με το κέντρο του σχήματος και είναι ίσο με το μισό διάμετρος). Έτσι, τα τρίγωνα ABC και ABD είναι ισοσκελή και οι δύο πλευρές τους που είναι παρόμοιες είναι αντίθετες γωνίες που επίσης μετρούν το ίδιο, δηλαδή:
AC = AD = AB = r (ακτίνα περιφέρειας)
γ = β και α = δ
Στη συνέχεια, αν δούμε το τρίγωνο CBD και θυμόμαστε ότι οι εσωτερικές γωνίες ενός τριγώνου πρέπει να προσθέσουν έως 180º, έχουμε:
γ + β + α + δ = 180º
2β + 2α = 180º
2 (α + β) = 180º
α + β = 90º
Επομένως, το τρίγωνο CBD είναι ένα σωστό τρίγωνο.
