Το τετράεδρο είναι ένα πολύεδρο με τέσσερις όψεις, έξι άκρα και τέσσερις κορυφές. Πρόκειται για μια τρισδιάστατη φιγούρα που σχηματίζεται από πολλά πολύγωνα τα οποία, στην περίπτωση αυτή, είναι τρίγωνα.
Το τετράεδρο χαρακτηρίζεται από το ότι είναι το απλούστερο της πολυέδρας και το μόνο που έχει λιγότερες από πέντε πλευρές.
Αξίζει να σημειωθεί ότι ένα τετράεδρο είναι μια πυραμίδα με τριγωνική βάση.
Στοιχεία τετράεδρο
Τα στοιχεία ενός τετράεδρο, που μας καθοδηγούν από το παρακάτω σχήμα, είναι:
- Πρόσωπα: Είναι οι πλευρές του τετράεδρο που, όπως αναφέραμε, είναι τρίγωνα (ABC, ADC, ADB και BDC.
- Ακρες: Είναι η ένωση δύο προσώπων: AB, AC, AD, BC, CD και DB.
- Κάθετες: Είναι εκείνα τα σημεία όπου συναντώνται τα άκρα: A, B, C και D.
- Δίεδρος γωνία: Σχηματίζεται από την ένωση δύο προσώπων.
- Γωνία πολυέδρου: Είναι ένα που αποτελείται από τις πλευρές που συμπίπτουν σε μία μόνο κορυφή.
Περιοχή και όγκος του τετράεδρο
Για να γνωρίζουμε τα χαρακτηριστικά του τετράεδρο μπορούμε να υπολογίσουμε:
- Περιοχή: Θα πρέπει να προστεθεί η περιοχή των τεσσάρων τριγώνων που απαρτίζουν τον πολυέδρο. Υπό αυτήν την έννοια, πρέπει να θυμόμαστε ότι η επιφάνεια ενός τριγώνου υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τη βάση με το ύψος και διαιρώντας με 2 (A = bxh / 2)
- Ενταση ΗΧΟΥ: Θα υπολογιστεί με τον ακόλουθο τύπο
Στον τύπο, το b είναι οποιαδήποτε όψη του πολυεδρού και h είναι το ύψος ή το τμήμα που ενώνει το b με την αντίθετη κορυφή του. Επιπλέον, το ύψος είναι κάθετο στη βάση (σχηματίζουν ορθή γωνία ή που μετρά 90º).
Κανονικό τετράεδρο
Όταν όλα τα τρίγωνα που απαρτίζουν το τετράεδρο είναι ισόπλευρα τρίγωνα ταυτόσημα μεταξύ τους, αντιμετωπίζουμε ένα κανονικό τετράεδρο. Δηλαδή, θα ήταν μια περίπτωση ενός κανονικού πολυέδρου, του οποίου τα πρόσωπα είναι όλα τα ίδια και το καθένα είναι επίσης ένα κανονικό πολύγωνο.
Σε αυτό το σημείο, πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα κανονικό πολύγωνο είναι εκείνο όπου όλες οι πλευρές έχουν το ίδιο μήκος και επίσης οι εσωτερικές γωνίες τους είναι όλες ίδιες.
Θυμηθείτε τότε ότι η περιοχή (Α) ενός ισόπλευρου τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Ηρώνα όπου a, b και c είναι οι μετρήσεις των πλευρών και το s είναι το ημιμέτρο, το οποίο είναι η περίμετρος (P) μεταξύ δύο.
Τότε ναι:
P = a + b + c = a + a + a = 3α
Πρεπει να:
Στη συνέχεια, δεδομένου ότι υπάρχουν τέσσερα τρίγωνα, πολλαπλασιάζουμε την περιοχή του καθενός με το 4 για να βρούμε την περιοχή του τετράεδρο (AT):
Από την άλλη πλευρά, εάν θέλουμε να υπολογίσουμε τον όγκο, πρέπει να βρούμε το ύψος του πολυεδρού. Για να γίνει αυτό, θα καθοδηγηθούμε από την ακόλουθη εικόνα:
Πρώτον, θα υπολογίσουμε το ύψος (h) της βάσης (το τρίγωνο ABC σε αυτό το παράδειγμα), το οποίο είναι το τμήμα EB. Η γωνία X μετρά 90º, οπότε το Πυθαγόρειο θεώρημα πρέπει να εκπληρωθεί και η υποτείνουσα (BA), η οποία μετρά ένα (το μήκος όλων των άκρων σε αυτό το τετράεδρο), είναι ίση με το άθροισμα κάθε τετραγώνου ποδιού. Ένα από τα πόδια είναι EA, είναι το μέσο του τμήματος AC (το E κόβει την πλευρά σε δύο ίσα μέρη) και μετρά a / 2. Επίσης, το δεύτερο σκέλος είναι το ύψος της βάσης (h ή EB).
Στη συνέχεια, από την ιδιότητα του κανονικού τετράεδρο, με το F να είναι το κέντρο του τριγώνου, το EF θα είναι το ένα τρίτο του τμήματος EB, δηλαδή το ένα τρίτο της ώρας.
Επόμενο βήμα, για να βρούμε το ύψος του τετράεδρο (DF), μπορούμε να εφαρμόσουμε ξανά το Πυθαγόρειο θεώρημα επειδή, καθώς το ύψος είναι κάθετο, η γωνία Υ είναι σωστή (μετρά 90º).
Κοιτάζοντας το τρίγωνο DEF, η υποτείνουσα είναι DE, που είναι το ύψος του τριγώνου ADC και, δεδομένου ότι όλες οι όψεις είναι ίσες, είναι το ίδιο ύψος h του τριγώνου ABC. Με τη σειρά του, ένα πόδι είναι το ύψος του τετράεδρο (DF), το οποίο θα ονομάσουμε ht, και το άλλο πόδι είναι το τμήμα EF που έχουμε ήδη υπολογίσει. Ως εκ τούτου:
Τέλος, για να βρούμε τον όγκο του τετράεδρο (V), όπως εξηγήσαμε προηγουμένως, πολλαπλασιάζουμε το ύψος του σχήματος (ht) με την περιοχή της βάσης (A) που υπολογίζεται παραπάνω και διαιρούμε με τρία:
Παράδειγμα Tetrahedron
Υποθέτοντας ότι ένα τετράεδρο είναι κανονικό και κάθε πλευρά των προσώπων του είναι 20 μέτρα. Ποια είναι η περιοχή (AT) και ο όγκος (V) του σχήματος;
