Οι βαθμοί ελευθερίας είναι ο συνδυασμός του αριθμού των παρατηρήσεων σε ένα σύνολο δεδομένων που ποικίλλουν τυχαία και ανεξάρτητα μείον τις παρατηρήσεις που εξαρτώνται από αυτές τις αυθαίρετες τιμές.
Με άλλα λόγια, οι βαθμοί ελευθερίας είναι ο αριθμός των αμιγώς ελεύθερων παρατηρήσεων (οι οποίες μπορεί να διαφέρουν) όταν εκτιμούμε τις παραμέτρους.
Διακρίνουμε κυρίως μεταξύ στατιστικών στοιχείων που χρησιμοποιούν παραμέτρους πληθυσμού και δείγματος για να γνωρίζουν τους βαθμούς ελευθερίας τους. Συζητάμε τις διαφορές μεταξύ του μέσου και της τυπικής απόκλισης όταν οι παράμετροι είναι πληθυσμός ή δείγμα:
Παράμετροι πληθυσμού και δείγματος
- Παράμετροι πληθυσμού:
Δεδομένου ότι στους πληθυσμούς δεν γνωρίζουμε όλες τις αξίες, οι βαθμοί ελευθερίας θα είναι όλα τα στοιχεία του πληθυσμού: Ν.
Και οι δύο στατιστικές επιτρέπουν σε όλες τις παρατηρήσεις στο σύνολο να είναι τυχαίες και, επομένως, κάθε φορά που εκτιμούμε το στατιστικό, θα έχουμε διαφορετικά αποτελέσματα. Στη συνέχεια, οι παρατηρήσεις που έχουν το πλήρες δικαίωμα να ποικίλουν είναι όλες οι παρατηρήσεις του πληθυσμού. Με άλλα λόγια, οι βαθμοί ελευθερίας σε αυτήν την περίπτωση είναι όλα τα στοιχεία του πληθυσμού: Ν. Για το λόγο αυτό διαιρούμε και τις δύο στατιστικές με το συνολικό μέγεθος του πληθυσμού (Ν).
- Παράμετροι δείγματος (εκτιμήσεις):
Στα δείγματα γνωρίζουμε όλες τις τιμές.
Διαχωρίζουμε το μέγεθος του πληθυσμού (N) με το μέγεθος του δείγματος (n).
Δεδομένου ότι γνωρίζουμε όλες τις τιμές στα δείγματα, δεν έχουμε κανένα πρόβλημα να υπολογίσουμε τον μέσο όρο, καθώς επιτρέπει σε όλες τις παρατηρήσεις στο σύνολο να είναι τυχαίες.
Στην περίπτωση της τυπικής απόκλισης, επιβάλουμε περιορισμό στους βαθμούς ελευθερίας: όλα τα στοιχεία του δείγματος (n) και αφαιρούμε 1 στοιχείο.
Αλλά … Γιατί αφαιρούμε μόνο 1 και όχι 5 ή 10 στοιχεία από το δείγμα (n);
Όσο περισσότερα στοιχεία αφαιρούμε, αυτό σημαίνει ότι όσο περισσότερες πληροφορίες έχουμε σχετικά με την παράμετρο δείγματος, στην περίπτωση αυτή, η τυπική απόκλιση.
Όσο περισσότερες πληροφορίες έχουμε, τόσο λιγότερη ελευθερία (βαθμοί ελευθερίας) οι δειγματοληπτικές παρατηρήσεις πρέπει να λαμβάνουν τυχαίες τιμές. Όσο περισσότερα στοιχεία αφαιρούμε από το δείγμα, τόσο περισσότερος περιορισμός επιβάλλουμε και τόσο λιγότεροι βαθμοί ελευθερίας θα έχει η παράμετρος δείγματος.
Παράδειγμα
Υποθέτουμε ότι πηγαίνουμε στην Ανδόρα για να δούμε τους τελικούς του Παγκοσμίου Κυπέλλου σκι γιατί μας αρέσει πολύ το αλπικό σκι. Φέρνουμε έναν χάρτη που μας λέει πού βρίσκονται οι διάφοροι κλάδοι και το όνομα ορισμένων από τους διαγωνιζόμενους, αλλά δεν προσδιορίζεται ο αριθμός έναρξης κάθε συμμετέχοντος. Κάθε φορά που λένε το όνομα του αγωνιζόμενου, γρατσουνίζουμε το όνομά τους. Δεδομένου ότι η λίστα των ανταγωνιστών είναι περιορισμένη, θα έρθει ένα σημείο που θα γνωρίζουμε το όνομα του αγωνιζόμενου πριν το ανακοινώσουν στα ηχεία.
Αναλύουμε το χρονικό από μαθηματική άποψη:
- Μέγεθος δείγματος (n) επειδή μας λένε μόνο το όνομα ορισμένων από τους συμμετέχοντες.
- Κάθε συμμετέχων μπορεί να ξεκινήσει τυχαία, η παραγγελία δεν έχει σημασία και δεν μπορεί να αγωνιστεί ξανά (συνδυασμοί χωρίς επαναλήψεις).
- Ο τελευταίος συμμετέχων θα είναι το γνωστό στοιχείο (n-1). Τότε όλοι οι άλλοι συμμετέχοντες μπορούν να βγουν τυχαία εκτός από τον τελευταίο, τον οποίο γνωρίζουμε σίγουρα.
Διαβάστε το παράδειγμα των βαθμών ελευθερίας