Το Cramér-Rao δεσμευμένο (CCR) είναι η ελάχιστη διακύμανση που, δεδομένων των συνθηκών κανονικότητας, μπορεί να φτάσει ένας εκτιμητής μιας παραμέτρου.
Με άλλα λόγια, αναζητούμε τη διακύμανση που είναι πλησιέστερα σε αυτό το κατώτερο όριο για να βρούμε τον καλύτερο εκτιμητή σύμφωνα με τις ιδιότητες της αμεροληψίας και της αποτελεσματικότητας.
Συνιστάται να διαβάσετε τις ιδιότητες των εκτιμητών
Αυτές οι ιδιότητες χρησιμοποιούνται όταν πρέπει να επιλέξουμε εκτιμητή για να πραγματοποιήσουμε μια οικονομετρική ανάλυση. Αν θέλουμε τα αποτελέσματά μας να είναι πειστικά, τουλάχιστον, θα πρέπει να απαιτήσουμε από τον εκτιμητή να είναι αμερόληπτο και να έχει τη μικρότερη δυνατή διακύμανση όλων των αμερόληπτων εκτιμητών (απόδοση).
Αν και λαμβάνουμε υπόψη όλους τους αμερόληπτους εκτιμητές, όταν αναζητούμε τον εκτιμητή ελάχιστης διακύμανσης, μπορεί να συμβεί ότι υπάρχει ένας άλλος αμερόληπτος εκτιμητής που έχει λιγότερη διακύμανση.
Για να μην ξεφύγει κανένας αμερόληπτος εκτιμητής με ελάχιστη διακύμανση, καθορίζουμε ένα ελάχιστο ή κατώτατο όριο που η διακύμανση του αμερόληπτου εκτιμητή μιας παραμέτρου δεν μπορεί να υπερβεί
Εξετάζουμε μόνο τους αμερόληπτους εκτιμητές, επειδή οι προκατειλημμένοι εκτιμητές μπορούν να έχουν διακυμάνσεις μικρότερες από το CCR.
Διατύπωση
Ορίζουμε:
f (X; Θ): συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας.
Ε (·): μαθηματική ελπίδα.
Ι (Θ): Πληροφορίες Fisher μιας παραμέτρου.
Αντιπροσωπεύει την "ποσότητα πληροφοριών" σχετικά με την τιμή της παραμέτρου που περιέχεται σε μια παρατήρηση της τυχαίας μεταβλητής X.
Τύπος:
Μην πανικοβάλλεστε! Τι μπορούμε να δούμε με την πρώτη ματιά από αυτόν τον τύπο;
- Μπορούμε να δούμε ότι πρόκειται για μια μη αυστηρή ανισότητα (≥) αντί για ισότητα (=). Αυτό συμβαίνει επειδή σε ορισμένες περιπτώσεις δεν βρίσκουμε (δεν υπάρχει) έναν αμερόληπτο εκτιμητή που φτάνει στο CCR. Επομένως, λέμε ότι αναζητούμε τη διακύμανση ενός αμερόληπτου εκτιμητή που πλησιάζει όσο το δυνατόν πιο κοντά σε αυτό το κατώτερο όριο. Επιπλέον, το CCR μας λέει ποια θα είναι η ελάχιστη διακύμανση του εκτιμητή, κάτω από αυτό το σχήμα δεν μπορεί να βρεθεί.
- Το μέρος προς τα δεξιά (var (Θ ') είναι η διακύμανση της εκτίμησης της παραμέτρου μας.
- Το μέρος προς τα αριστερά (1 / J (Θ)) είναι το ανυπέρβλητο ελάχιστο της διακύμανσης.
- Εάν αναζητούμε ένα (απόλυτο) ελάχιστο για τη διακύμανση του εκτιμητή του Θ, είναι λογικό να εμφανίζονται μερικά παράγωγα (παράγωγο σε σχέση με το Θ).
- Στα οικονομικά, μερικά παράγωγα χρησιμοποιούνται σε συνθήκες πρώτης και δεύτερης τάξης για τη βελτιστοποίηση των λειτουργιών χρησιμότητας: βρείτε τα σχετικά και απόλυτα μέγιστα και ελάχιστα αντίστοιχα.
- Το CCR χρησιμοποιεί το πρώτο μερικό παράγωγο της παραμέτρου Θ στην συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f (X; Θ)
- Για ευκολία υπολογισμού, σε ορισμένες περιπτώσεις το δεύτερο παράγωγο και εναλλακτικό Fisher πληροφορίες χρησιμοποιούνται για την απόκτηση CCR.
Οι εκτιμητές που, επειδή είναι αμερόληπτοι, έχουν διακύμανση ίση με το CCR, τότε θα θεωρηθούν ως οι πιο αποτελεσματικοί. Παρομοίως, όσοι είναι αμερόληπτοι των οποίων η διακύμανση είναι πιο κοντά θα θεωρηθούν σχετικά πιο αποτελεσματικοί από τους άλλους εκτιμητές (πιο μακριά).