Τυπική ή τυποποιημένη βαθμολογία

Οι τυπικές ή τυπικές βαθμολογίες είναι μια μέθοδος σύγκρισης των σχετικών θέσεων δύο ή περισσότερων στοιχείων σε σχέση με το σύνολο των παρατηρήσεων.

Με άλλα λόγια, οι τυποποιημένες βαθμολογίες επιστρέφουν τον αριθμό των τυπικών αποκλίσεων που το σκορ x_Εγώ αποκλίνει από το μέσο όρο.

Μαθηματικά, ας x_Εγώ στοιχείο i μιας μεταβλητής X με μέση και τυπική απόκλιση S. Στη συνέχεια, η τυποποιημένη βαθμολογία αυτού του στοιχείου i είναι:

Οι τυποποιημένες βαθμολογίες σάς επιτρέπουν να συγκρίνετε στοιχεία από διαφορετικές μεταβλητές και διαφορετικές μονάδες μέτρησης εφόσον πληρούνται οι ιδιότητες.

Ιδιότητες

Οι τυποποιημένες βαθμολογίες δεν έχουν μονάδες μέτρησης. Οι μονάδες του αριθμητή ακυρώνονται με τις μονάδες του παρονομαστή. Δεδομένης αυτής της ιδιότητας, η τυποποιημένη βαθμολογία ονομάζεται επίσης τυπική βαθμολογία.

Η απόλυτη τιμή της βαθμολογίας είναι ο αριθμός των τυπικών αποκλίσεων που διαχωρίζουν το στοιχείο από τη μέση τιμή της μεταβλητής όπου ανήκει. Επειτα:

Εάν λάβουμε υπόψη το σημάδι των τυποποιημένων βαθμολογιών, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη θέση του στοιχείου σε σχέση με το μέσο όρο της μεταβλητής.

• Ζ_Εγώ> 0: στοιχείο Εγώ είναι πάνω από το μέσο = στοιχείο i είναι στα δεξιά του μέσου όρου.
• Ζ_Εγώ<0: στοιχείο Εγώ είναι κάτω από το μέσο = στοιχείο i είναι αριστερά του μέσου όρου.

Οι τυποποιημένες βαθμολογίες όλων των στοιχείων κατασκευάζουν μια νέα μεταβλητή που ονομάζεται z_Εγώ.

Αυτή η μεταβλητή z_Εγώ λαμβάνεται από την αφαίρεση (xi - X)_Ήμισυ) και η αλλαγή κλίμακας με τη διαίρεση της τυπικής απόκλισης (S).

Η τυποποίηση χαρακτηρίζεται από το ότι έχει μέση τιμή 0 και διακύμανση 1.

• Ο μέσος όρος όλων των τυποποιημένων αποτελεσμάτων είναι 0.
• Η διακύμανση όλων των τυποποιημένων αποτελεσμάτων είναι 1.

Εφαρμογές

Στα στατιστικά στοιχεία και στην οικονομετρία χρησιμοποιούνται πίνακες κατανομής πιθανότητας τυποποιημένο για να βρείτε την πιθανότητα ότι μια παρατήρηση θα λάβει δεδομένης της συνάρτησης κατανομής που ακολουθεί η μεταβλητή.

Πρακτικό παράδειγμα

Έχουμε δύο χιονοδρομικά κέντρα Α και Β, στα οποία οι σκιέρ μπορούν να κάνουν αλπικό σκι (Alpine) ή Nordic ski (Nordic). Θα μελετήσουμε ποια δραστηριότητα είναι πιο δημοφιλής σε κάθε χιονοδρομικό κέντρο ανάλογα με τον αριθμό των σκιέρ που εκτελούν κάθε δραστηριότητα.

Στοιχεία
Εποχές	Ήμισυ	Dev. Πρότυπο	αλπικός	σκανδιναβικός
ΠΡΟΣ ΤΗΝ	96	2,6	112	52
σι	22	4	24	41

Υπολογίζουμε τις τυποποιημένες βαθμολογίες:

Δημιουργούμε τον πίνακα αποτελεσμάτων:

Τυποποιημένες βαθμολογίες
Εποχές	αλπικός	σκανδιναβικός
ΠΡΟΣ ΤΗΝ	6,1538	-16,923
σι	0,5	4,75

Ως αποτέλεσμα έχουμε:

Το αλπικό σκι είναι πιο δημοφιλές από το σκανδιναβικό σκι στο χιονοδρομικό κέντρο Α επειδή:

Ζ_{Α, αλπικό} > 0, Ζ_{Α, σκανδιναβικά} <0 και Z_{Α, αλπικό} > Ζ_{Α, σκανδιναβικά.}

Το σκανδιναβικό σκι είναι πιο δημοφιλές από το αλπικό σκι στο χιονοδρομικό κέντρο Β επειδή

Ζ_{Β, σκανδιναβικά} > Ζ_{Β, αλπικό} και με τα δύο μεγαλύτερα από το μηδέν.

Ανω του μέσω όρου:

Ζ_{Α, αλπικό} > 0, Ζ_{Β, αλπικό} > 0 και Z_{Β, σκανδιναβικά} > 0

Κάτω από το μέσο όρο:

Ζ_{Α, σκανδιναβικά} <0