Το θεώρημα Darmois είναι ένα θεώρημα που επιτρέπει την εύρεση ενός στατιστικού T για μια παράμετρο θ με την ιδιότητα επαρκούς.
Με ακόμη πιο απλές λέξεις, επιτρέπει την εύρεση της μαθηματικής έκφρασης, εάν υπάρχει, επαρκούς στατιστικής.
Σε σχέση με το κριτήριο factoring Fisher-Neyman, μπορούμε να λάβουμε υπόψη μας. Το κριτήριο factoring Fisher-Neyman χρησιμεύει τόσο για να ελέγξει εάν μια στατιστική πληροί την ιδιότητα του επαρκούς, όσο και για να βρει τη μαθηματική έκφραση ενός επαρκούς στατιστικού (εάν υπάρχει). Αντιθέτως, το θεώρημα του Darmois επιτρέπει μόνο την εύρεση της μαθηματικής έκφρασης (εάν υπάρχει) επαρκούς στατιστικής.
Ας πούμε ότι ενώ το κριτήριο factoring Fisher-Neyman κινείται προς τα εμπρός (αναζήτηση) και προς τα πίσω (έλεγχος), το θεώρημα Darmois κινείται μόνο προς τα εμπρός (αναζήτηση)
Ο τύπος θεώρηματος Darmois
Θεωρητικά, εκφράζεται, δεδομένου ενός απλού τυχαίου δείγματος μιας τυχαίας μεταβλητής X με συνάρτηση πυκνότητας f (x; θ) με θ ∈ Ω. Εάν αυτή η συνάρτηση ανήκει στην εκθετική οικογένεια, δηλαδή, μπορεί να εκφραστεί έτσι ώστε:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Στη συνέχεια, το στατιστικό στοιχείο T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
Για τη διευκόλυνση των υπολογισμών, συνήθως πραγματοποιείται λογαριθμική σημειογραφία:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Φυσικά, είναι δύσκολο να κατανοήσουμε όλη αυτή τη μαθηματική σημειογραφία. Εμφανίζονται πολλά άγνωστα, πολλά γράμματα, πολλοί τελεστές. Ας το επαναπροσδιορίσουμε με λόγια. Για το σκοπό αυτό, θα ξεκινήσουμε με τον θεωρητικό ορισμό που εφαρμόζεται σε ένα παράδειγμα:
Ας υποθέσουμε ότι ένα τυχαίο δείγμα 50 παιδιών (απλό τυχαίο δείγμα) στα οποία ρωτάμε πόσα χρήματα ξοδεύουν την εβδομάδα σε γλυκά (τυχαία μεταβλητή X) με μια δεδομένη συνάρτηση πυκνότητας (βλέπε λειτουργία πυκνότητας). Έτσι, αν αυτή η συνάρτηση πυκνότητας μπορούμε να την εκφράσουμε ως εξής:
Θα αποδείξουμε ότι η επαρκής στατιστική είναι το άθροισμα της έκφρασης a (x)
Τα μέρη του τύπου ορίζονται ως εξής:
- lnβ (θ): Είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται μόνο από την παράμετρο (στην περίπτωσή μας ο μέσος όρος)
- lnb (x): Είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται μόνο από την τυχαία μεταβλητή X
- a (x): Είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται μόνο από το X και πολλαπλασιάζει α (θ)
- α (θ): Είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται μόνο από την παράμετρο (στην περίπτωσή μας ο μέσος όρος)
Το θεώρημα του Darmois στην πράξη
Αν και όλοι έχουμε την ικανότητα και τα εργαλεία να ανακαλύψουμε νέα στατιστικά στοιχεία, αυτό είναι σπάνια ο κανόνας. Με άλλα λόγια, καθηγητές οικονομικών και εμπειρογνώμονες στον τομέα κάνουν έρευνα για αυτά τα θέματα.
Σε προσωπική βάση, είναι δύσκολο να βρεθεί κάποιος που είναι αφοσιωμένος στη διεξαγωγή αυτού του είδους έρευνας. Έτσι, στην πράξη, το σημαντικό για αυτό το θεώρημα είναι να κατανοήσουμε από πού προέρχονται αυτά τα στατιστικά στοιχεία που χρησιμοποιούμε.
Για παράδειγμα, για να ανακαλύψει κάποιος ότι ο μέσος όρος είναι επαρκής στατιστική, πιθανότατα χρησιμοποίησε αυτήν τη διαδικασία.
