Μέτρο ενός διανύσματος και το Πυθαγόρειο θεώρημα

Η ενότητα ενός διανύσματος είναι το μήκος ενός τμήματος προσανατολισμένου σε ένα χώρο που καθορίζεται από δύο σημεία και τη σειρά τους.

Με άλλα λόγια, ο συντελεστής ενός διανύσματος είναι το μήκος μεταξύ της αρχής και του τέλους του διανύσματος, δηλαδή, όπου ξεκινά το βέλος και πού τελειώνει.

Δεδομένου οποιουδήποτε διαστατικού διανύσματος:

Οι πληροφορίες που μας δίνουν οι συντεταγμένες του διανύσματος, δηλαδή το vx και vy, είναι το μήκος του για τον άξονα x και το μήκος του για τον άξονα y, αντίστοιχα.

Έτσι, αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες, μπορούμε να υπολογίσουμε το συντελεστή του διανύσματος

Συντελεστής διανύσματος και το Πυθαγόρειο θεώρημα

Δεν θυμίζει το προηγούμενο σχέδιο μια γεωμετρική μορφή;

Ακριβώς, μπορούμε να φανταστούμε ότι οι άξονες συντεταγμένων δίπλα στο διάνυσμα σχηματίζουν ένα ορθογώνιο με βάση vx και ύψος vy. Μπορούμε να χωρίσουμε αυτό το ορθογώνιο σε δύο συμμετρικά τρίγωνα, δηλαδή, και οι δύο θα έχουν την ίδια βάση και ύψος.

Το μπλε σκιασμένο τρίγωνο έχει βάση vx και ύψος vy. Γνωρίζοντας λοιπόν αυτές τις πληροφορίες μπορούμε να γνωρίζουμε την υποτελής χρήση του. Υπάρχει ένα πολύ διάσημο θεώρημα γνωστό ως το Πυθαγόρειο θεώρημα που χρησιμοποιείται για αυτούς τους υπολογισμούς.

Επίδειξη

Γνωρίζουμε ότι ο Πυθαγόρειος τύπος έχει ως εξής:

Όπου h είναι η υπόταση, το c είναι ένα πόδι και το c είναι ένα άλλο πόδι.

Στην περίπτωσή μας, γνωρίζουμε πόσο αξίζει τα πόδια μας, με άλλα λόγια, τη βάση και το ύψος. Έτσι, μπορούμε να συνδέσουμε αυτές τις πληροφορίες στην εξίσωση:

Προχωράμε στην αφαίρεση του τετραγώνου του h εφαρμόζοντας την τετραγωνική ρίζα:

Αν πούμε ότι vx = 3 και vy = 6:

Επομένως, εάν το v ήταν ένα διάνυσμα με συντεταγμένες (3,6), τότε θα γνωρίζαμε ότι ο συντελεστής του είναι 6.7082. Ακριβώς, ο συντελεστής του, επειδή ο τύπος για τον συντελεστή οποιουδήποτε διανύσματος v είναι:

Βλέπουμε ότι ακριβώς οι πληροφορίες που μας λείπουν στην εξίσωση συμπίπτουν με την υπόθεση. Με άλλα λόγια, το μήκος του διανύσματος είναι αυτό που θέλουμε να υπολογίσουμε και η υποτείνουσα είναι η διαγώνια του τριγώνου. Επομένως, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος για τον υπολογισμό του συντελεστή του διανύσματος είναι μια έγκυρη μέθοδος.

Αν λοιπόν πρέπει να υπολογίσουμε το συντελεστή ενός διανύσματος και δεν θυμόμαστε τον τύπο, μπορούμε να σκεφτούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να λύσουμε το πρόβλημα.

Η άσκηση επιλύθηκε

Υπολογίστε το συντελεστή του διανύσματος v με συντεταγμένες (-3, -6) εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Ο συντελεστής του διανύσματος v με συντεταγμένες (-3,6) που υπολογίζεται από τον τύπο του Πυθαγόρειου θεωρήματος είναι επίσης 6.7082.