Παράγωγο μιας συνάρτησης - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Το παράγωγο μιας μαθηματικής συνάρτησης είναι ο ρυθμός ή ο ρυθμός αλλαγής μιας συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Δηλαδή, πόσο γρήγορα συμβαίνει μια παραλλαγή.

Από γεωμετρική προοπτική, το παράγωγο μιας συνάρτησης είναι η κλίση της γραμμής εφαπτομένης στο σημείο όπου βρίσκεται το x.

Σε μαθηματικούς όρους, το παράγωγο μιας συνάρτησης μπορεί να εκφραστεί ως εξής:

Στον τύπο, το x είναι το σημείο στο οποίο η μεταβλητή παίρνει την τιμή του x. Ομοίως, το h είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Αυτό θα είναι τότε ίσο με το μηδέν γιατί, όπως βλέπουμε στην παραπάνω εικόνα, πρέπει να υπολογίσουμε το όριο της συνάρτησης όταν το h πλησιάζει το μηδέν.

Πρέπει να θυμόμαστε ότι, σε γενικές γραμμές, το παράγωγο είναι μια μαθηματική συνάρτηση που ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής μιας μεταβλητής σε σχέση με μια άλλη. Δηλαδή, με ποιο ποσοστό μία μεταβλητή αυξάνεται ή μειώνεται όταν μια άλλη έχει επίσης αυξηθεί ή μειωθεί.

Πρέπει να προσδιορίσουμε ότι το όριο μιας συνάρτησης ορίζεται ως η τάση της (σε τι τιμή προσεγγίζει) όταν μία από τις παραμέτρους της (σε αυτήν την περίπτωση h) πλησιάζει μια συγκεκριμένη τιμή.

Παραδείγματα του ορίου μιας συνάρτησης

Μπορούμε να κατανοήσουμε καλύτερα το όριο μιας συνάρτησης με μερικά παραδείγματα. Ας δούμε την ακόλουθη περίπτωση:

Σε αυτήν την περίπτωση, δεν ήταν απαραίτητο να βρούμε το όριο όταν το h πλησιάζει το μηδέν, καθώς το αποτέλεσμα της διαίρεσης f (x + h) -f (x) με h οδηγεί σε έναν φυσικό αριθμό και όχι μια αλγεβρική έκφραση όπου μπορούμε να βρούμε αχ, όπως είναι η ακόλουθη περίπτωση:

Ας δούμε τώρα ένα άλλο παράδειγμα:

Στη συνέχεια, διαιρούμε με h:

Τέλος, βρίσκω το όριο όταν το h πλησιάζει το 0: