Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι μια μέθοδος με την οποία βελτιστοποιείται μια αντικειμενική συνάρτηση, είτε μεγιστοποιώντας είτε ελαχιστοποιώντας, όπου οι μεταβλητές αυξάνονται με ισχύ 1. Αυτό, λαμβάνοντας υπόψη διαφορετικούς περιορισμούς που δίνονται.
Ο γραμμικός προγραμματισμός, λοιπόν, είναι μια διαδικασία με την οποία θα μεγιστοποιηθεί μια γραμμική συνάρτηση. Δηλαδή, μια εξίσωση του πρώτου βαθμού, όπου οι μεταβλητές αυξάνονται με τη δύναμη του 1.
Πρέπει να θυμόμαστε ότι αυτός ο τύπος εξίσωσης είναι μια μαθηματική ισότητα που μπορεί να έχει ένα ή περισσότερα άγνωστα. Έτσι, έχει την ακόλουθη βασική μορφή, όπου a και b είναι οι σταθερές, ενώ x και y είναι οι μεταβλητές.
ax + b = y
Τώρα, μέσω γραμμικού προγραμματισμού, αυτή η λειτουργία θα μπορούσε να βελτιστοποιηθεί, βρίσκοντας τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή του y. Αυτό, λαμβάνοντας υπόψη ότι το x υπόκειται σε ορισμένους περιορισμούς. Ίσως είναι μεγαλύτερο από 0 και λιγότερο από 20, για παράδειγμα.
Στοιχεία γραμμικού προγραμματισμού
Τα κύρια στοιχεία του γραμμικού προγραμματισμού είναι τα ακόλουθα:
- Αντικειμενική λειτουργία: Είναι η λειτουργία που βελτιστοποιείται, είτε μεγιστοποιώντας είτε ελαχιστοποιώντας το αποτέλεσμα.
- Περιορισμοί: Αυτές είναι οι προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται κατά τη βελτιστοποίηση της αντικειμενικής λειτουργίας. Μπορεί να είναι αλγεβρικές εξισώσεις ή ανισότητες.
Άσκηση γραμμικού προγραμματισμού
Ας δούμε, για να ολοκληρώσουμε, μια γραμμική άσκηση προγραμματισμού.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την ακόλουθη συνάρτηση, η οποία εκφράζει το όφελος που αποκτά ένα άτομο κατά την απόκτηση συγκεκριμένων προϊόντων, ως το βοηθητικό πρόγραμμα U και τα προϊόντα, x και y.
U = 4x + 7y
Ομοίως, το άτομο αντιμετωπίζει περιορισμό του προϋπολογισμού, με τον προϋπολογισμό του να είναι 70 νομισματικές μονάδες (cu), και οι τιμές των προϊόντων x και y είναι 6 και 14 cu, αντίστοιχα.
70≥6x + 14ε
Σε αυτήν την περίπτωση, αν σχεδιάσουμε τις συναρτήσεις, θα συνειδητοποιήσουμε ότι η μεγαλύτερη χρησιμότητα εμφανίζεται όταν το άτομο αγοράζει μόνο τα καλά x (11 μονάδες), έχοντας έτσι ένα βοηθητικό πρόγραμμα 44 (4 × 11 + 0x7) Αντ 'αυτού, αν αγοράσετε 9 μονάδες x και 1 y, για παράδειγμα, το κέρδος σας θα είναι 42 (9 × 4 + 1 × 7). Εν τω μεταξύ, αν ξοδέψετε τα πάντα στο καλό y, θα μπορούσατε να αγοράσετε μόνο 5, κάτι που θα σας έδινε κέρδος 35 (4 × 0 + 5 × 7).
Αξίζει να σημειωθεί ότι, στο παραπάνω γράφημα, η γκρίζα γραμμή είναι μία από τις καμπύλες αδιαφορίας.
Σε αυτό το σημείο, πρέπει επίσης να θυμόμαστε ότι τα προϊόντα x και y μπορούν να έχουν μόνο ακέραιες τιμές.
Η υπόθεση που παρουσιάζεται μπορεί να αφορά δύο προϊόντα που ικανοποιούν την ίδια ανάγκη, για παράδειγμα, την πείνα. Ωστόσο, ένα από αυτά, το καλό x, ενώ προσφέρει λίγο λιγότερη χρησιμότητα, είναι λιγότερο ακριβό, με τιμή CU6, ενώ το καλό y κοστίζει περισσότερο από το διπλά CU14.
Για τη μεγιστοποίηση της αντικειμενικής λειτουργίας, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαδικτυακά εργαλεία που σας επιτρέπουν να εισάγετε τη γραμμική εξίσωση και τους αντίστοιχους περιορισμούς, δίνοντας αυτόματα το αποτέλεσμα.