Η εκθετική συνάρτηση είναι η βάση της συνεχούς σύνθεσης, η οποία είναι το αποτέλεσμα της άπειρης αύξησης (όταν το p τείνει στο άπειρο) της συχνότητας του υπολογισμού του ενδιαφέροντος για μια σύνθετη ένωση.
Με άλλα λόγια, η εκθετική συνάρτηση είναι μια ένωση σύνθεσης όπου οι χρονικές περίοδοι μεταξύ των υπολογισμών ενδιαφέροντος είναι άπειρες (πολύ μικρές).
Ο τύπος για την εκθετική συνάρτηση είναι:
Η συνεχής ένωση μπορεί να εκφραστεί ως
Εύλογες ομοιότητες μεταξύ της συνεχούς κεφαλαιοποίησης και της εκθετικής συνάρτησης, σωστά;
Ορίζουμε τις μεταβλητές της συνεχούς κεφαλαιοποίησης:
- ντοt + 1: κεφάλαιο τη στιγμή t + 1 (αργότερα).
- ντοτ: κεφάλαιο τη στιγμή t (τρέχουσα).
- Εγώτ: επιτόκιο τη στιγμή t.
- ρ: συχνότητα σύνθεσης ή περιοδικότητα.
- t: ώρα.
Εφαρμογές
Στα χρηματοοικονομικά βρίσκουμε συχνά την εκθετική συνάρτηση στον τύπο για συνεχή κεφαλαιοποίηση μελλοντικών εσόδων και σε ορισμένες οικονομετρικές παλινδρομήσεις.
Στα οικονομικά δεν είναι τόσο δημοφιλές, διότι τα περισσότερα μικροοικονομικά και μακροοικονομικά μοντέλα υποθέτουν ότι μειώνουν τις οριακές αποδόσεις στους συντελεστές παραγωγής τους. Κατά συνέπεια, υποθέτουν ότι οι παράγοντες ακολουθούν λογαριθμικές επιστροφές και, επομένως, επιστρέφουν αντίθετα με την εκθετική συνάρτηση.
Παράδειγμα εκθετικής συνάρτησης
Υποθέτουμε ότι είμαστε ένας Αμερικανός επενδυτής που θέλει να χτίσει μια πίστα σκι στο Pico Bolívar της Βενεζουέλας. Η αρχική επένδυση είναι 100 εκατομμύρια δολάρια με ετήσιο επιτόκιο 100%. Αυτός ο επενδυτής έχει επαρκή διαπραγματευτική ισχύ για να καθορίσει την περιοδικότητα του υπολογισμού των τόκων για την επένδυσή του.
Ποια εναλλακτική λύση θα προτιμήσει ο Αμερικανός επενδυτής;
Για να απαντήσουμε στην ερώτηση, θα πρέπει να υπολογίσουμε εγκαίρως το κεφάλαιο t + 1 (ΝΤΟt + 1) που θα λάβει ο επενδυτής.
Διαθέσιμες πληροφορίες:
ντοτ: 100MM
Εγώτ: 100%
t: 1 (ετήσιο)
ντοt + 1: ?
| Εναλλακτική λύση | ΠΡΟΣ ΤΗΝ | σι | ντο | ρε | ΚΑΙ | φά |
| Περιοδικότης | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Αντικαθιστούμε τις πληροφορίες που έχουμε στους δύο τύπους (λειτουργία συν. Και συνεχής χρήση κεφαλαίων)
Αντιμετωπίζουμε τα δεδομένα αποφεύγοντας το MM.
Διαιρούμε (Γt + 1) ανά 100 στην εκθετική συνάρτηση για την εξάλειψη της επίδρασης του κεφαλαίου. Με αυτόν τον τρόπο, προχωράμε το κόμμα σε δύο θέσεις. Κατά συνέπεια, αυτό το εφέ είναι ορατό στις ακόλουθες στήλες αποτελεσμάτων.
Αποτελέσματα:
| Τύπος | Συνεχής ανάμειξη | Εκθετικη συναρτηση |
| Περιοδικότητα (p) ή (n) | ντοt + 1 | ντοt + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Όταν τα n ή p τείνουν στο άπειρο, στην περίπτωση αυτή από 10.000.000, μπορούμε να δούμε ότι οι τιμές συγκλίνουν σε έναν συγκεκριμένο αριθμό. Για συνεχή ένωση είναι 271.8281 και για εκθετική συνάρτηση είναι 2,718281. Οι δύο σειρές συγκλίνουν και.
Η απόκριση στην άσκηση επιλύθηκε
Λοιπόν, ποια εναλλακτική λύση θα καταλήξει ο Αμερικανός επενδυτής, εάν από μια σειρά περιοδικών το κεφάλαιο στο t + 1 (Ct + 1) πάγκους σε μια συγκεκριμένη τιμή;
- Εάν αυτός ο επενδυτής αντιμετωπίζει το κεφάλαιο ως διακριτή μεταβλητή, τότε θα επιλέξει εναλλακτική Δ. Δεδομένου ότι από την εναλλακτική Γ, το κεφάλαιο στο t + 1 (Ct + 1) συγκλίνει σε $ 271MM.
- Εάν αυτός ο επενδυτής αντιμετωπίζει το κεφάλαιο ως συνεχή μεταβλητή, τότε θα επιλέξει την εναλλακτική με περισσότερες περιοδικότητες. Σε αυτήν την περίπτωση, εναλλακτική F. Ακόμα κι αν καταλήξει να συγκλίνει σε μια τιμή, ο επενδυτής λαμβάνει υπόψη όλα τα δεκαδικά ψηφία.
Αυτή η σύγκλιση υπονοεί ότι το κεφάλαιο είναι t + 1 (Ct + 1), που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο συνεχούς σύνθεσης ή την εκθετική συνάρτηση, ακολουθεί τις φθίνουσες οριακές αποδόσεις. Με άλλα λόγια, (Γt + 1) μπορεί να εκφραστεί ως λογαριθμική συνάρτηση.
Σχηματικώς:
- Περιοδικότητα = εκθετική συνάρτηση.
- Κεφάλαιο προς t + 1 (ΝΤΟt + 1) = λογαριθμική συνάρτηση.
Γραφική αναπαράσταση
Στο γράφημα μπορείτε να δείτε πώς η εκθετική συνάρτηση, η οποία είναι απεριόριστα συνεχής, αυξάνεται πολύ πιο γρήγορα από την περιορισμένη συνεχή χρήση κεφαλαίων. Όταν μιλάμε για συνεχή κεφαλαιοποίηση αναφερόμαστε σε ένα είδος σύνθετης κεφαλαιοποίησης, αλλά με μεγαλύτερη περιοδικότητα, καθώς στην πράξη είναι αδύνατο να κεφαλαιοποιήσουμε τα συμφέροντα απεριόριστα. Εννοώ, δεν μπορούμε να εκμεταλλευτούμε κάθε δευτερόλεπτο.