Πίνακας Variance-Covariance - Τι είναι, ορισμός και έννοια

Ο πίνακας διακύμανσης-συνδιακύμανσης είναι ένας τετραγωνικός πίνακας διαστάσεων nxm που συλλέγει τις διακυμάνσεις στην κύρια διαγώνια και τις συνδιακυμάνσεις στα στοιχεία έξω από την κύρια διαγώνια.

Με άλλα λόγια, ο πίνακας διακύμανσης-συνδιακύμανσης είναι ένας πίνακας που έχει τον ίδιο αριθμό σειρών και στηλών και έχει τις διακυμάνσεις που κατανέμονται στην κύρια διαγώνια και τις συνδιακυμάνσεις στα στοιχεία έξω από την κύρια διαγώνια.

Αναπαράσταση μήτρας

Ο πίνακας διακύμανσης-συνδιακύμανσης εκφράζεται συνήθως ως

Αν και φαίνεται ότι είναι το σύμβολο της αθροίσματος και ότι δεν έχει καμία σχέση με τον πίνακα διακύμανσης-συνδιακύμανσης, αυτό το ελληνικό γράμμα αντιπροσωπεύει τέλεια το περιεχόμενο αυτής της μήτρας.

Για να το καταλάβουμε, ας δούμε πρώτα την έκφρασή του:

Γνωρίζοντας ότι υπάρχει Μ στήλες, η έλλειψη υποδεικνύει ότι οι στήλες μεταξύ της δεύτερης και της τελευταίας στήλης έχουν παραλειφθεί. Ομοίως, γνωρίζοντας ότι υπάρχει ν σειρές, η έλλειψη υποδεικνύει ότι οι σειρές μεταξύ της δεύτερης και της τελευταίας σειράς έχουν παραλειφθεί.

Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε το σίγμα για να αναπαριστάμε τις συνδιακυμάνσεις και το σίγμα τετράγωνο για τις παραλλαγές. Για παράδειγμα:

Ποιο ελληνικό γράμμα εμφανίζεται σε όλα τα στοιχεία του πίνακα; Το σίγμα.

Επομένως, είναι λογικό, για τον ορισμό του πίνακα διακύμανσης-συνδιακύμανσης, χρησιμοποιείται επίσης ένα σίγμα.

Ελληνικό γράμμα

είναι η κεφαλαιακή μορφή του

Έτσι, εάν θυμόμαστε ότι ο πίνακας διακύμανσης-συνδιακύμανσης εκφράζεται ως κεφαλαίος χαρακτήρας του σίγμα, θα είναι ευκολότερο να θυμόμαστε τον ορισμό του.

Απαιτήσεις για να είναι ένας πίνακας διακύμανσης-συνδιακύμανσης

Οι απαιτήσεις για μια μήτρα να είναι διακύμανση-συνδιακύμανση είναι οι ακόλουθες:

• Τετραγωνική μήτρα: ίδιος αριθμός σειρών (n) με τις στήλες (m), τότε, n = m, και επομένως, η διάσταση αυτού του πίνακα μπορεί να εκφραστεί τόσο nxm όσο και nxn.
• Στο κύρια διαγώνια υπάρχουν διαφορές:

• Από την κύρια διαγώνια υπάρχουν συνδιακύμανση:

Εφαρμογή

Ο πίνακας διακύμανσης-συνδιακύμανσης είναι πολύ δημοφιλής στην οικονομετρία, δεδομένου ότι χρησιμοποιείται κυρίως στον υπολογισμό της μήτρας των συντελεστών γραμμικής παλινδρόμησης χρησιμοποιώντας Ordinary Least Square, μεταξύ άλλων χρήσεων.

Στα χρηματοοικονομικά, χρησιμοποιείται για τη γενική εικόνα της αστάθειας των χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων.

Μαθηματική έκφραση διακύμανσης και συνδιακύμανσης

Τα μαθηματικά εκφράζονται ως εξής:

• Διακύμανση του στοιχείου n = 1 και m = 2

• Διακύμανση του στοιχείου n = 1 και m = 1

Και η διακύμανση και η συνδιακύμανση μπορούν να διορθωθούν. Δηλαδή, ο παρονομαστής είναι n-1 αντί για n. Αυτό οφείλεται στους βαθμούς ελευθερίας και εξαρτάται από το αν μιλάμε για πληθυσμούς ή δείγματα διακυμάνσεων και συνδιακύμανσης.