Η διαφορά μεταξύ κοίλου και κυρτού μπορεί να εξηγηθεί ως εξής → Ο όρος κυρτό αναφέρεται στο γεγονός ότι μια επιφάνεια έχει εσωτερική καμπυλότητα, ενώ εάν ήταν κοίλη η καμπυλότητα θα ήταν εξωτερική.
Έτσι, μπορούμε να το περιγράψουμε με άλλο τρόπο. Το κεντρικό τμήμα μιας κυρτής επιφάνειας είναι πιο καταθλιπτικό ή πιεσμένο. Από την άλλη πλευρά, εάν ήταν κοίλο, αυτό το κεντρικό τμήμα θα έδειχνε μια εξέχουσα θέση.
Για να το κατανοήσουμε καλύτερα, μπορούμε να αναφέρουμε μερικά παραδείγματα. Πρώτον, η κλασική περίπτωση μιας σφαίρας, της οποίας η επιφάνεια είναι κυρτή. Ωστόσο, αν το κόψουμε στα δύο και διατηρήσουμε το κάτω μισό, θα έχουμε ένα κυρτό αντικείμενο, με ένα κρεμ (υποθέτοντας ότι το εσωτερικό της σφαίρας είναι κενό).
Ένα άλλο παράδειγμα κοίλου θα ήταν ένα βουνό, καθώς είναι μια εξέχουσα θέση σε σχέση με την επιφάνεια της γης. Αντίθετα, ένα πηγάδι είναι κοίλο, αφού εισέρχεται σημαίνει βύθιση, κάτω από το επίπεδο της γης.
Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι για να οριστεί ένα αντικείμενο ως κοίλη ή κυρτή προοπτική πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη. Έτσι, ένα πιάτο σούπας, για παράδειγμα, όταν είναι έτοιμο για σερβίρισμα, είναι κυρτό, έχει κρεμά. Ωστόσο, αν το γυρίσουμε, η πλάκα θα είναι κοίλη.
Αν αναλύσουμε τις παραβολές, για παράδειγμα, είναι κυρτές εάν έχουν σχήμα U, αλλά κοίλες εάν έχουν ανεστραμμένο σχήμα U.
Κοίλες και κυρτές συναρτήσεις
Εάν το δεύτερο παράγωγο μιας συνάρτησης είναι μικρότερο από το μηδέν σε ένα σημείο, τότε η συνάρτηση είναι κοίλη σε αυτό το σημείο. Από την άλλη πλευρά, εάν είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, είναι κυρτή σε αυτό το σημείο. Τα παραπάνω μπορούν να εκφραστούν ως εξής:
Εάν f »(x) <0, f (x), είναι κοίλο.
Εάν f »(x)> 0, f (x) είναι κυρτό.
Για παράδειγμα, στην εξίσωση f (x) = x2+ 5x-6, μπορούμε να υπολογίσουμε το πρώτο παράγωγο:
f '(x) = 2x + 5
Στη συνέχεια βρίσκουμε το δεύτερο παράγωγο:
f »(x) = 2
Επομένως, δεδομένου ότι το f »(x) είναι μεγαλύτερο από 0, η συνάρτηση είναι κυρτή για κάθε τιμή του x, όπως βλέπουμε στο παρακάτω γράφημα:
Τώρα, ας δούμε την περίπτωση αυτής της άλλης συνάρτησης: f (x) = - 4x2+ 7x + 9.
f '(x) = - 8x + 7
f »(x) = - 8
Επομένως, δεδομένου ότι το δεύτερο παράγωγο είναι μικρότερο από 0, η συνάρτηση είναι κοίλη για κάθε τιμή του x.
Αλλά τώρα ας δούμε την ακόλουθη εξίσωση: -5 x3+ 7χ2+5 x-4
f '(x) = - 15χ2+ 14x + 5
f »(x) = - 30x + 14
Ορίζουμε το δεύτερο παράγωγο στο μηδέν:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Έτσι, όταν το x είναι μεγαλύτερο από 0,4667, το f »(x) είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, οπότε η συνάρτηση είναι κυρτή. Ενώ εάν το x είναι μικρότερο από 0,4667, η συνάρτηση είναι κοίλη, όπως βλέπουμε στο παρακάτω γράφημα:
Κυρτό και κοίλο πολύγωνο
Ένα κυρτό πολύγωνο είναι εκείνο όπου δύο από τα σημεία του μπορούν να ενωθούν, σχεδιάζοντας μια ευθεία γραμμή που παραμένει εντός του σχήματος. Ομοίως, οι εσωτερικές γωνίες του είναι μικρότερες από 180º.
Από την άλλη πλευρά, ένα κοίλο πολύγωνο είναι εκεί όπου, για να ενώσει δύο από τα σημεία του, πρέπει να τραβηχτεί μια ευθεία γραμμή που είναι έξω από το σχήμα, που είναι μια εξωτερική διαγώνια που ενώνει δύο κορυφές. Επιπλέον, τουλάχιστον μία από τις εσωτερικές γωνίες της είναι μεγαλύτερη από 180º.
Μπορούμε να δούμε μια σύγκριση στην παρακάτω εικόνα:
