Συνδυαστική χωρίς επανάληψη

Συνδυαστικά χωρίς επανάληψη νοούνται ως τα διαφορετικά σύνολα που μπορούν να σχηματιστούν με στοιχεία «n», που επιλέγονται από το x σε x. Κάθε σετ πρέπει να διαφέρει από το προηγούμενο σε τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία του (η σειρά δεν έχει σημασία) και αυτά δεν μπορούν να επαναληφθούν.

Το Combinatorics χωρίς επανάληψη είναι κοινή χρήση στις στατιστικές και τα μαθηματικά. Αυτό ταιριάζει σε πολλές πραγματικές καταστάσεις και η εφαρμογή του είναι αρκετά απλή.

Πάρτε, για παράδειγμα, έναν μαθητή που έχει εξετάσεις 4 ερωτήσεων. Από τις 4 ερωτήσεις που πρέπει να επιλέξει τρεις. Πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς θα μπορούσε να κάνει ο μαθητής; Εάν λογικά, θα δούμε (χωρίς να εφαρμόσουμε πραγματικά τον τύπο) ότι ο μαθητής θα μπορούσε να επιλέξει πώς να απαντήσει στις 3 ερωτήσεις με τέσσερις διαφορετικούς τρόπους.

• Σύνολο / επιλογή 1: Απάντηση ερωτήσεων 1,2,3.
• Σύνολο / επιλογή 2: Απάντηση ερωτήσεων 1,2,4.
• Σύνολο / επιλογή 3: Απάντηση ερωτήσεων 1,3,4.
• Σύνολο / επιλογή 4: Απάντηση στις ερωτήσεις 2,3,4.

Όπως μπορούμε να δούμε, ο μαθητής μπορεί να σχηματίσει 4 σύνολα (n) από 3 στοιχεία (x). Επομένως, ο συνδυασμός χωρίς επανάληψη μας λέει πώς να σχηματίσουμε ή να ομαδοποιήσουμε μια πεπερασμένη ποσότητα δεδομένων / παρατηρήσεων, σε ομάδες συγκεκριμένης ποσότητας χωρίς να μπορεί να επαναληφθεί κανένα στοιχείο σε κάθε ομάδα. Αυτή είναι η κύρια διαφορά μεταξύ του συνδυασμού με την επανάληψη (στοιχεία σε κάθε ομάδα μπορούν να επαναληφθούν) και του συνδυασμού χωρίς επανάληψη (κανένα στοιχείο δεν μπορεί να επαναληφθεί σε κάθε ομάδα)

Για να επισημάνουμε σε αυτό το παράδειγμα, ότι πρόκειται για συνδυαστικό συνδυασμό χωρίς επανάληψη, καθώς ο μαθητής δεν μπορεί να επιλέξει να υποβάλει κάποια από τις ερωτήσεις περισσότερες από μία φορές. Επομένως, τα στοιχεία των συνόλων δεν μπορούν να επαναληφθούν.

Στην προηγούμενη περίπτωση, δεδομένου ότι ο συνολικός αριθμός των στοιχείων είναι μικρός και η ποσότητα του συνόλου είναι υψηλή, ο αριθμός των επιλογών είναι μικρός και μπορεί εύκολα να εξαχθεί χωρίς εφαρμογή του τύπου. Σε περίπτωση άμεσης εφαρμογής του τύπου, ο αριθμητής θα είναι 24 (4 * 3 * 2 * 1) και ο παρονομαστής θα είναι 6 (3 * 2 * 1 * 1) με τον οποίο θα φτάναμε στον υπολογισμό με τον ίδιο τρόπο χωρίς να σκεφτούμε πώς θα μπορούσαμε να ομαδοποιήσουμε αυτές τις τέσσερις ερωτήσεις σε ομάδες τριών.

Πώς να υπολογίσετε το συνδυασμό χωρίς επανάληψη;

Ο τύπος του συνδυασμού χωρίς επανάληψη είναι:

Οπου:

• ν = Συνολικές παρατηρήσεις
• Χ = Αριθμός επιλεγμένων αντικειμένων

Παράδειγμα του συνδυασμός χωρίς επανάληψη

Ας φανταστούμε μια στρατιωτική διμοιρία 12 στρατιωτών. Ο αρχηγός του στρατού θέλει να σχηματίσει ομάδες 2 στρατιωτών για να διεισδύσει πίσω από τις γραμμές του εχθρού σε διαφορετικά σημεία, πόσες διαφορετικές ομάδες θα μπορούσε να σχηματίσει;

Για να λύσουμε το πρόβλημα, πρέπει πρώτα να προσδιορίσουμε τον συνολικό αριθμό στοιχείων. Σε αυτήν την περίπτωση υπάρχουν 12 στρατιώτες συνολικά, επομένως έχουμε ήδη τον αριθμό μας. Δεδομένου ότι ο καπετάνιος θέλει ομάδες των 2, γνωρίζουμε ήδη τι είναι το x μας. Γνωρίζοντας αυτό, θα μπορούσαμε να αντικαταστήσουμε τον τύπο και να έχουμε τον αριθμό συνδυασμών ομάδων 2.

• ν = 12
• Χ = 2

Κατά την αντικατάσταση:

Εφαρμόζοντας το παραγοντικό για τον παρονομαστή, θα έχουμε 12 * 11 * 10 *… * 1 = 479.001.600. Για τον παρονομαστή έχουμε 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7,257,600. Ο συνδυαστικός μας αριθμός είναι = 479,001,600 / 7,257,600 = 66.

Όπως μπορούμε να δούμε, ο καπετάνιος μπορεί να σχηματίσει 66 διαφορετικά ζευγάρια στρατιωτών μεταξύ των 12 που έχει.