Η ένωση των συμβάντων είναι μια λειτουργία της οποίας το αποτέλεσμα αποτελείται από όλα τα μη επαναλαμβανόμενα στοιχειώδη γεγονότα που έχουν δύο ή περισσότερα σύνολα κοινά και όχι κοινά.
Δηλαδή, δεδομένου των δύο συνόλων Α και Β, η ένωση των Α και Β θα σχηματιζόταν από όλα τα μη επαναλαμβανόμενα σύνολα που έχουν Α και Β. Διαισθητικά, η πιθανότητα της ένωσης των γεγονότων των Α και Β θα συνεπαγόταν απόκριση στο ερώτηση: Ποια είναι η πιθανότητα να βγει το Α ή να βγει το Β;
Το σύμβολο για την ένωση των γεγονότων είναι U. Με τέτοιο τρόπο που αν θέλουμε να παρατηρήσουμε μαθηματικά την ένωση δύο γεγονότων B και D, θα το παρατηρούσαμε ως: B U D.
Γενίκευση ένωσης εκδηλώσεων
Μέχρι στιγμής έχουμε δει και υποδείξει την ένωση δύο γεγονότων. Για παράδειγμα, A U B ή B U D. Αλλά τι γίνεται αν έχουμε τρία, τέσσερα, ακόμη και εκατό γεγονότα;
Αυτό ονομάζουμε γενίκευση, δηλαδή μια φόρμουλα που μας βοηθά να παρατηρήσουμε την ένωση των γεγονότων σε αυτές τις περιπτώσεις. Αν έχουμε 8 εκδηλώσεις, αντί να γράψουμε τα δέκα γεγονότα, θα χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη σημείωση:
Αντί να καλούμε κάθε συμβάν Α, Β ή οποιοδήποτε γράμμα, θα καλέσουμε Ναι. Το S είναι το συμβάν και ο δείκτης i δείχνει τον αριθμό. Με τέτοιο τρόπο που θα έχουμε, εφαρμόσει στο παράδειγμα 10 εκδηλώσεων, τα εξής:
Αυτό που κάναμε είναι να εφαρμόσουμε την προηγούμενη σημειογραφία και να την αναπτύξουμε. Τώρα, δεν θα χρειαζόμαστε πάντα. Ειδικά όταν πρόκειται για μεγάλο αριθμό εκδηλώσεων.
Ένωση γεγονότων αποσύνδεσης και μη συνένωσης
Αυτό που υποδηλώνει η έννοια των διαχωριστικών συμβάντων είναι ότι δύο γεγονότα δεν έχουν κοινά στοιχεία.
Όταν είναι αποσυνδεδεμένοι, η λειτουργία συνένωσης συμβάντων είναι απλή. Πρέπει μόνο να προσθέσετε τις πιθανότητες και των δύο, για να αποκτήσετε την πιθανότητα να συμβεί το ένα ή το άλλο συμβάν. Ωστόσο, όταν τα συμβάντα δεν διαχωρίζονται, πρέπει να προστεθεί μια μικρή λεπτομέρεια. Τα επαναλαμβανόμενα στοιχεία πρέπει να εξαλειφθούν. Για παράδειγμα:
Ας υποθέσουμε ότι ένας χώρος αποτελεσμάτων κυμαίνεται από 1 έως 5. Τα συμβάντα έχουν ως εξής:
Γεγονός Α: (1,2,4) -> 60% πιθανότητα = 0,6
Γεγονός Β: (1,4,5) -> 60% πιθανότητα = 0,6
Η λειτουργία A U B, διαισθητικά, θα ήταν να προσθέσετε τα γεγονότα του Α και τα συμβάντα του Β, αλλά αν το κάνουμε αυτό, η πιθανότητα θα ήταν 1,2 (0,6 + 0,6). Και όπως υποδεικνύει τα αξιώματα πιθανότητας, η πιθανότητα πρέπει πάντα να είναι μεταξύ 0 και 1. Πώς το επιλύουμε; Αφαίρεση της τομής των συμβάντων Α και Β. Αφαίρεση των στοιχείων που επαναλαμβάνονται:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Όσον αφορά τις πιθανότητες, θα πρέπει:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Πράγματι, η πιθανότητα να εμφανιστούν 1 ή 2 ή 4 ή 5. Υποθέτοντας ότι όλοι οι αριθμοί έχουν την ίδια πιθανότητα να συμβεί είναι 80%.
Γραφικά θα μοιάζει με αυτό:
Ιδιότητες Union Event
Η ένωση των γεγονότων είναι ένας τύπος μαθηματικής λειτουργίας. Ορισμένοι τύποι λειτουργίας είναι επίσης προσθήκη, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός. Καθένα από αυτά έχει μια σειρά ιδιοτήτων. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι το αποτέλεσμα της προσθήκης 3 + 4 είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό της προσθήκης 4 +3. Σε αυτό το σημείο, η ένωση εκδηλώσεων έχει πολλές ιδιότητες που αξίζει να γνωρίζετε:
- Υπολογιστική: Αυτό σημαίνει ότι η σειρά με την οποία γράφεται δεν αλλάζει το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα:
- A U B = B U Α
- C U D = D U C
- Προσεταιριστική: Υποθέτοντας ότι υπάρχουν τρία γεγονότα, δεν με νοιάζει ποιο πρέπει να κάνει πρώτα και ποιο να κάνει στη συνέχεια. Για παράδειγμα:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U Γ
- Διανεμητικό: Όταν συμπεριλαμβάνουμε τον τύπο λειτουργίας τομής, διατηρείται η ιδιότητα διανομής. Απλώς δείτε το ακόλουθο παράδειγμα:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Παράδειγμα Ένωσης εκδηλώσεων
Ένα απλό παράδειγμα της ένωσης δύο εκδηλώσεων Α και Β θα ήταν το ακόλουθο. Ας υποθέσουμε ότι η περίπτωση της ρίψης μιας τέλειας μήτρας. Μια μήτρα που έχει έξι πρόσωπα από 1 έως 6. Με τέτοιο τρόπο ώστε τα γεγονότα να ορίζονται παρακάτω:
ΠΡΟΣ ΤΗΝ: Ότι είναι μεγαλύτερο από 2. (3,4,5,6) κατά πάσα πιθανότητα είναι 4/6 => P (A) = 0,67
ΝΤΟ: Αφήστε πέντε να βγουν. Η πιθανότητα (5) είναι 1/6 => P (C) = 0,17
Ποια είναι η πιθανότητα A U C;
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Εφόσον τα P (A) και P (C) το έχουν ήδη, θα υπολογίσουμε το P (A ∩ C)
A ∩ C = (5) σε πιθανότητες P (A ∩ C) = 1/6 = 0.17
Το τελικό αποτέλεσμα είναι:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Η πιθανότητα ότι θα κυλήσει περισσότερο από 2 ή ότι θα κυλήσει 5 είναι 67%.